¿Cómo se calcula el volumen de un elipsoide con un cono alrededor de su eje mayor removido?

Question

Sea $E$ un elipsoide $n$-dimensional en $\mathbb{R}^n$ centrado en $0$, y sea $C$ el cono formado por el conjunto de todos los puntos dentro de un ángulo $\alpha$ del eje mayor de $E$.

¿Cómo se puede calcular el volumen de $E\setminus C$?

Answer 1

Voy a intentar el caso en 3D. Solo en un esquema:

Dados los ángulos polares $\theta$ y $\phi$ determinar una dirección en 3D, y por lo tanto un "rayo" que emana desde el origen. Puedes encontrar el punto de intersección de este rayo con la elipsoide, y por lo tanto la longitud de la pieza dentro de la elipsoide. Integra esta longitud sobre $0 \le \theta \le \alpha$ y $0 \le \phi \le 2\pi$.