¿Cuántos números de tres dígitos no son divisibles por 3, 5 o 11?

Question

¿Cuántos números de tres dígitos no son divisibles por 3, 5 o 11?

¿Cómo puedo solucionar esto?

Debo buscar a la regla de divisibilidad o debo usar, por ejemplo, \frac{999-102}{3}+1 $$ $$

Answer 1

Suponiendo que te refieres por % o $3$ $5$o $11$, utilizar el principio de inclusión/exclusión :

• Cantidad de números con dígitos de #% en %#% no son divisibles por % o $3$ $3$o $5$:

  $11$

• Cantidad de números con dígitos de #% en %#% no son divisibles por % o $999-\lfloor\frac{999}{3}\rfloor-\lfloor\frac{999}{5}\rfloor-\lfloor\frac{999}{11}\rfloor+\lfloor\frac{999}{3\times5}\rfloor+\lfloor\frac{999}{3\times11}\rfloor+\lfloor\frac{999}{5\times11}\rfloor-\lfloor\frac{999}{3\times5\times11}\rfloor=485$ $2$o $3$:

  $5$

• Cantidad de números con exactamente $11$ dígitos que no son divisibles por % o $99-\lfloor\frac{99}{3}\rfloor-\lfloor\frac{99}{5}\rfloor-\lfloor\frac{99}{11}\rfloor+\lfloor\frac{99}{3\times5}\rfloor+\lfloor\frac{99}{3\times11}\rfloor+\lfloor\frac{99}{5\times11}\rfloor-\lfloor\frac{99}{3\times5\times11}\rfloor=48$ $3$o $3$:

  $5$

Answer 2

Un enfoque sencillo que me gusta es el de la Inclusión-exclusión principio.

Deje $C_{[i1, i2,...]}$ la media de número de números de tres dígitos es divisible entre i1, i2, ... y $C$ el número de números de tres dígitos. Por lo tanto tenemos:

$C - C_{[3]} - C_{[5]} - C_{[11]} + C_{[3, 5]} + C_{[3, 11]} + C_{[5, 11]} - C_{[3, 5, 11]}$

Para cada una de las $C_{[i_1, i_2, ...]}$ tenemos:

$C_{[i_1, i_2, ...]} = \lfloor\frac{999}{i_1 * i_2 *...}\rfloor - \lfloor\frac{99}{i_1 * i_2 *...}\rfloor$

Esto se traduce en $900 - (300 + 180 + 81) + (60 + 27 + 17) - 6 = 437$

Nota:

Supongo que te refieres a "¿cuántos números de tres dígitos no son divisibles por 3,5 o 11?"

De lo contrario, su respuesta es $\lfloor\frac{999}{3*5*11}\rfloor - \lfloor\frac{99}{3*5*11}\rfloor = 6$

Answer 3

Uno puede computar las exclusiones/inclusiones necesarias rápidamente y evitar tener que lidiar con función piso yendo sobre lo siguiente:

Números del 1 al 990 no divisible por $3, 5$ o $11$ = $990(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{11})$ = 480

Uno puede contar que de 991 a 999 allí son 5 tales números.

Número total entre 1-999 => $485$

Total de números del 1 al 99 no divisible por $3,5$ o $11$ = $99(1-\frac{1}{3})(1-\frac{1}{5})(1-\frac{1}{11})$ = 48

Total de números de 3 dígitos no divisibles por $3, 5$ o $11$ = $485 - 48$ = $437$

Answer 4

Esta pregunta también puede ser resuelto mediante la aplicación de teoría de conjuntos. Utilizando la fórmula

$n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A⋂B) - n(B⋂C) - n(A⋂C) + n(A⋂B⋂C)$

calcular el número de números de tres dígitos divisibles por 3, 5, 11, 15, 55, 33, 165 (15, 33, 55 y 165 son LCMs de 3-5, 3-11, 5-11 y 05/03/11 respectivamente) mediante la fórmula que usted ha mencionado. Esto le dará al número de números de 3 dígitos que sean divisibles por 3, 5 o 11. Reste este número de 900 (número total de números de 3 dígitos) para obtener el resultado deseado.