Estrategia y preguntas de aritmética modular intermedia

Question

Tengo estos problemas y sé cómo resolver los de dos ecuaciones pero no más. ¿Alguien puede aportar soluciones? ¡Gracias de antemano!

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Encuentra el menor número entero positivo que satisface el sistema de congruencias \begin{align*} N &\equiv 1 \pmod{7}, \\ N &\equiv 7 \pmod{13}, \\ N &\equiv 13 \pmod{20}. \end{align*}

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Encuentre el menor positivo $N$ tal que \begin{align*} N &\equiv 6 \pmod{12}, \\ N &\equiv 6 \pmod{18}, \\ N &\equiv 6 \pmod{24}, \\ N &\equiv 6 \pmod{30}, \\ N &\equiv 6 \pmod{60}. \end{align*}

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¿Cuántos enteros positivos menores o iguales a $6\cdot7\cdot8\cdot9$ resolver el sistema de congruencias \begin{align*} m &\equiv 5 \pmod{6}, \\ m &\equiv 4 \pmod{7}, \\ m &\equiv 3 \pmod{8}, \\ m &\equiv 3 \pmod{9}. \end{align*}

Answer 1

Para el problema 1:

$$N=7p+1$$ $$7p+1 \equiv 7 \pmod{13}$$ $$7p \equiv 6 \pmod{13}$$ $$p \equiv 12 \pmod{13}$$

(Se calcula hallando la inversa de 7 mod 13).

$$N \equiv 7*12+1 \pmod{13*7}$$

$$N \equiv 85 \pmod{91}$$

$$N = 91q + 85$$

$$N \equiv 13 \pmod{20} $$

$$91q + 85 \equiv 13 \pmod{20} $$

$$91q \equiv 8 \pmod{20} $$

$$11q \equiv 8 \pmod{20}$$

$$q \equiv 8 \pmod{20} $$

$$N \equiv 91*8+85 \pmod{91*20}$$

$$N \equiv 813 mod \pmod{1820}$$

$$N = 813$$

Para el problema 2, $N = 6$ es la solución obvia.

Para el problema 3, vemos que no es posible tener $N \equiv 5 \pmod{6}$ y $N \equiv 3 \pmod{9}$ (primero sugiere $N$ no es divisible por 3, el segundo sugiere $N$ es divisible por 3). Por lo tanto, aquí hay 0 soluciones válidas.