¿Cómo encontrar la distancia media de un punto a todos los puntos de un segmento dado?

Question

Supongamos que el punto $C$ está directamente por encima del punto $B$ de $\overline{AB}$ . $|\overline{AB}| =2$ y la distancia de $C$ a $B$ es $1$ .

¿Cómo puedo encontrar la distancia media del punto $C$ a cada punto de $\overline{AB}$ ?

Para aclarar más mi pregunta, supongamos que empezamos a elegir al azar diez puntos $A,D,E,F,G,H,I,J,K,B$ en $\overline{AB}$ y conectarlos todos al punto $C$ .

La distancia media desde el punto $C$ a los puntos $A,D,E,F,G,H,I,J,K,B$ sería entonces $$\frac{|\overline{CA}|+|\overline{CD}|+|\overline{CE}|+|\overline{CF}|+|\overline{CG}|+|\overline{CH}|+|\overline{CI}|+|\overline{CJ}|+|\overline{CK}|+|\overline{CB}|}{10}$$ Lo ideal sería que hubiera infinitos segmentos, pero no puedo dibujarlos todos.

Ahora, volviendo a mi pregunta: ¿cuál es la distancia media desde el punto $C$ a cada punto de $\overline{AB}$ ?

Creo que esta pregunta está relacionada con Selección de líneas triangulares Pero no he podido averiguar la configuración para resolver este problema. Se agradecerá cualquier consejo.

Answer 1

Sin pérdida de generalidad, sean las coordenadas de A, B, C: $(0, 0), (b, 0)$ y $(b, c)$ . Un punto arbitrario en AB está descrito por las coordenadas $(x, 0)$ , donde $x \in [0, b]$ . La distancia de C a este punto viene dada por $d(x) = \sqrt{(b-x)^2 + c^2}$ . Ahora puede integrar $d(x)$ en relación con $x$ para obtener la distancia media $\bar{d}$ .

$\bar{d} = \frac{1}{b}\int_0^{b} \sqrt{(b-x)^2 + c^2} dx$ .

Creo que una sustitución como $(b-x) = c \tan \theta$ podría funcionar.

Concretamente, en su ejemplo, $b=2$ y $c=1$ .

Answer 2

Esto es $\frac12\int_0^2 \sqrt{x^2+1}\;dx$ como explica Aditya Dua. Para evaluar esta integral, haz la sustitución $x=\sinh u$ para que $x^2+1=\cosh^2u$ y $dx=\cosh u\;du$ . Obtenemos

$$\begin{align} \frac12\int_0^{\sinh^{-1}2}\cosh^2 u\;du&=\frac14\int_0^{\sinh^{-1}2}(\cosh 2u+1)\;du\\ &=\frac14\left[\frac12\sinh 2u+u\right]_0^{\sinh^{-1}2}\\ &=\frac14\left[\sinh u\cosh u+u\right]_0^{\sinh^{-1}2}\\ &=\frac14(2\sqrt{2^2+1}+\sinh^{-1}2)\\ &=\frac12\sqrt 5+\frac14\sinh^{-1}2 \end{align}$$

que se trata de $1.47894285754460$ . Puede encontrar las distintas identidades hiperbólicas en este enlace .