Evaluar $\int\,\cos(x)\cos(\omega x)\,dx$ utilizando fórmulas de adición trigonométrica

Question

Busco resolver la integral

$$\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\, \cos(x)\cos(\omega x)\,dx$$

reescribiendo los términos mediante las fórmulas de adición trigonométrica.

Debería terminar como:

$$\left.\frac{2}{\pi}\frac{\omega \cos(x) \sin(\omega x)-\sin(x)\cos(\omega x)}{\omega^2-1}\right|_{x=-\frac{\pi}{2}}^{x=\frac{\pi}{2}}.$$

Lo necesito para resolver problemas similares al evaluar integrales usando integrales de Fourier.

Answer 1

Una pista: $\cos{(x)}\cos{(\omega x)}=\frac{\cos{((\omega-1)x))}+\cos{((\omega+1)x)}}{2}$ .