Dejemos que $A_1,\dots,A_k \subset \mathbb{R}^n$ . Si $x \in \text{conv}(A_1+…+A_k)$ entonces $x \in \text{conv}(A_1’+…+A_k’)$ con un número finito de $A_i’ \subset A_i$ .

Question

Dejemos que $A_1,\dots,A_k \subset \mathbb{R}^n$ . Si $x \in \text{conv}(A_1+…+A_k)$ entonces $x \in \text{conv}(A_1’+…+A_k’)$ con un número finito de $A_i’ \subset A_i$ .

Estoy tratando de verificar esta observación. Si $x$ puede ser delimitado por un simplex en $\text{conv}(A_1+…+A_k)$ entonces podemos usarlo para encontrar tal $A_1’,…,A_k’$ donde $x$ tiene una representación en $\text{conv}(A_1’+…+A_k’)$ . Pero ¿qué hago cuando $x$ no se puede limitar de esa manera? Por ejemplo, tomemos $A_1,A_2$ para ser una bola y un rectángulo en $\mathbb{R}^2$ y $x$ un rincón en $\text{conv}(A_1+A_2)$ .

Answer 1

El casco convexo de un conjunto $A$ es equivalente al conjunto de todas las combinaciones convexas de puntos en $A$ (ver por ejemplo Casco convexo: Equivalencia de definiciones ).

Por lo tanto, si $x \in \operatorname{conv}(A_1+ A_2 + \cdots +A_k)$ entonces $$ x = \sum_{j=1}^N \lambda_j (a_{j, 1} + a_{j, 2} + \cdots + a_{j, k}) $$ donde $\lambda_k \ge 0$ son números reales con $\sum_{k=1}^N \lambda_k = 1$ y $a_{j, i} \in A_i$ . Entonces $$ A_i' = \{ a_{1, i}, a_{2, i}, \ldots, a_{N, i} \} $$ son subconjuntos finitos de $A_i$ y $x \in \operatorname{conv}(A_1'+ A_2' + \cdots +A_k')$ .