Ya que nadie más ha publicado una respuesta, voy a dar una aquí, aunque las ecuaciones del documento me parecen confusas (y me parece que están mal). Tu pregunta no plantea la ecuación de la misma manera que el documento enlazado. Ajustando la notación del documento a tu notación, afirman que:
$$x(t) = \text{Re} \left\{\sum\limits_{k=1}^{N} b_k e^{-i \omega_k t}\right\} \quad \quad \quad \quad \quad b_k = \int \limits_0^T x(t) e^{i \omega_k t} \ dt.$$
Esto es muy difícil de entender, incluso en el contexto de la información anterior en el documento, así que puedo entender por qué estás teniendo problemas con él. Es un conjunto extraño de ecuaciones porque mezclan la representación continua con la representación discreta. Si echas un vistazo al párrafo que precede a la ecuación (9) de ese documento, verás que introducen esto señalando que "En el análisis práctico de datos, los datos consisten en una cadena de números reales...". Aunque no se dice explícitamente, supongo que la intención de las ecuaciones es hablar de una situación práctica como ésta, en la que se tiene una muestra finita de datos de series temporales. En vista de ello, parece que están asumiendo que ha observado $N \in \mathbb{N}$ observaciones en la serie temporal.
Si he entendido bien, su intención aquí es utilizar una función continua $x: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ para la serie temporal, pero suponen que los datos observados de esta serie provienen de $N$ puntos discretos, y la función continua es una extensión continua de ese conjunto discreto de valores observables (definidos según la transformada inversa de Fourier a partir de los coeficientes de frecuencia). Es de suponer que la primera de estas dos ecuaciones es la transformada inversa de Fourier que devuelve la serie temporal (continua) a partir de los coeficientes de Fourier, $^\dagger$ y la segunda es la transformación de Fourier que obtiene los coeficientes de Fourier de las series temporales.
Cuando se trata de una serie temporal discreta que contiene $N$ puntos de datos, es cierto que sólo se necesita $N$ valores de los coeficientes de Fourier a diferentes frecuencias $\omega_1,...,\omega_N$ para determinar completamente la serie. Los autores definen inicialmente $\omega = 1/T$ pero luego nunca dan definiciones de $\omega_1,...,\omega_N$ Por lo tanto, no está claro si se trata de frecuencias concretas o de frecuencias arbitrarias (no degeneradas). Las ecuaciones de la transformada de Fourier y su inversa incluyen la exponencial compleja y su inversa, así que esa parte tiene sentido. Sin embargo, las ecuaciones no me parecen correctas, ya que carecen del ajuste unitario $1/\sqrt{N}$ que aparecerían en la transformada discreta de Fourier y su inversa, y carecen de un factor de escala adecuado para tratar la integral hasta $T$ en la transformación de Fourier.
Es posible que yo haya malinterpretado estas ecuaciones de alguna manera, y quizás los autores pretendían que hubiera alguna relación (no declarada) entre $N$ y $T$ . En algunos trabajos aplicados hay muchos conocimientos previos sobre los significados de determinadas variables, y a veces no se indican. Tal y como está escrito, con el contexto que dan, hay una serie de cosas que no están definidas ni claras, por lo que el resultado parece erróneo. En casos como éste, se puede escribir a los autores para pedirles una aclaración, y esto podría revelar algún aspecto de la definición que no se ha expresado, lo que soluciona los problemas aparentes. En cualquier caso, si sólo buscas una explicación general de las transformadas de Fourier con datos discretos, hay artículos mucho mejores y más sencillos sobre ese tema que yo recomendaría por encima de éste.
$^\dagger$ El $\text{Re}$ en la primera ecuación parece ser superfluo, ya que la transformada inversa de Fourier -si está bien planteada- ya debería devolver la serie temporal original, que es una función real.
