$IS \mid JS$ implica que $I\mid J$ donde $I$ y $J$ son ideales de un anillo numérico contenido en otro anillo numérico $S$

Question

$K$ y $L$ son campos numéricos y $K \subset L$ . Ahora bien, si $I$ y $J$ son dos ideales en el anillo numérico de $K$ y $IS \mid JS$ entonces tenemos que demostrar que $I \mid J$ . Aquí, $S$ es el anillo de números de $L$ .
El libro sugiere que el factor $I$ y $J$ en primos del anillo numérico de $K$ y luego considerar lo que sucede en $S$ . Esta pregunta ya se ha planteado aquí:

Teoría algebraica de los números, Marcus, capítulo 3, pregunta 9

una vez pero no utiliza la pista que da el libro y en su lugar parte $(b)$ del mismo problema para demostrar este resultado. ¿Puede alguien explicar qué quiere decir el autor con "considerar lo que ocurre en $S$ ' o dar pistas pero no la solución completa por favor

Answer 1

Dejemos que $I = \mathfrak p_1^{e_1}\dots\mathfrak p_s^{e_s}$ , $J = \mathfrak q_1^{k_1}\dots\mathfrak q_r^{k_r}$ en $R$ el anillo de enteros de $K$ . Sea $P_1$ sea un ideal primo en la factorización de $\mathfrak p_1S$

Entonces tenemos $P_1 \mid \mathfrak p_1S \mid IS \mid JS$ . Así que como $P_1$ es un ideal primo y la factorización en ideales primos es única, $P_1$ debe aparecer en la factorización ideal de $JS$ . Por otro lado la factorización de $JS$ está completamente determinada por la factorización de $J$ en $R$ . En otras palabras, primero factorizamos cada $\mathfrak q_iS$ y sólo hay que multiplicarlos para obtener la factorización de $JS$ . Por lo tanto, $P_1$ debe proceder de una factorización de uno de los factores ideales primos de $J$ WLOG, que sea $\mathfrak q_1S$ .

Sin embargo, sabemos que un ideal primo está por encima de un único ideal primo. En particular, $\mathfrak p_1S \subseteq P_1 \implies P_1 \cap R = \mathfrak p_1$ . De lo anterior obtenemos $\mathfrak p_1 = P_1 \cap R = \mathfrak q_1$ . Además, desde $IS \mid JS$ no es difícil concluir que $e_1 \le k_1$ . Ahora repite lo mismo para todos $\mathfrak p_i$