Demostrar que $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10}}{1.1^n}$ converge

Question

Estoy tratando de demostrar que $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10}}{1.1^n}<\infty$ .

Mi intento:

Dejemos que $n_0\in \mathbb{N}$ tal que para cualquier $n>n_0$ la condición $1.1^n>n^{12}$ se mantiene.

Ahora, $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10}}{1.1^n}=\sum_{n=1}^{n_0}\frac{n^{10}}{1.1^n}+\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{n^{10}}{1.1^n}\le\sum_{n=1}^{n_0}\frac{n^{10}}{1.1^n}+\sum_{n=n_0+1}^{\infty}\frac{n^{10}}{n^{12}}$$ Ambas sumas en el lado derecho convergen, por lo tanto $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{10}}{1.1^n}$ converge.

¿Está bien mi razonamiento?

Por cierto, según WolframAlpha la serie converge por la prueba de la razón, pero no he podido encontrar series adecuadas para comprobarlo. Por favor, explique.

Gracias.

Answer 1

Sí, este razonamiento está bien, siempre que tenga una razón para saber que su $n_0$ existe.

Para la prueba de la proporción: La relación entre los términos sucesivos de la serie es $$ \frac{(n+1)^{10}/1.1^{n+1}}{n^{10}/1.1^n} = \frac{(n+1)^{10}}{n^{10}\cdot 1.1} = \frac1{1.1}\Bigl(\frac{n+1}n\Bigr)^{10} = \frac1{1.1}\Bigl(1+\frac1n\Bigr)^{10} $$ que converge claramente hacia $\frac1{1.1}$ que es estrictamente menor que $1$ . Por lo tanto, la serie debe converger.

Answer 2

Yo diría que tu argumento es semicorrecto; dividir así una serie cuya convergencia es desconocida es "dudoso".

De la primera frase de "Mi intento" deduzco que usted conoce el hecho de que para todos $a,b > 0$ tenemos $x^{a}/e^{bx} \to 0$ como $x \to \infty$ . Utilizando este hecho tenemos $$ \frac{n^{10}}{(1.1)^{n}} = \frac{n^{10}}{\exp [n \log (1.1)]} \leq \frac{n^{10}}{n^{12}} = n^{-2} $$ para grandes $n$ ; la serie $\sum_{n \geq 1}n^{-2}$ convergente implica, por prueba de comparación, que la serie considerada converge.