Estoy estudiando la demostración de la desigualdad de Cauchy a partir de los apuntes que tengo de mi clase $$(\forall\vec{x},\vec{y}\in\mathbb{R}^n):|\sum_{i=1}^{n}x_iy_i|\le||\vec{x}||\cdot||\vec{y}||$$
Elegimos $\vec{x},\vec{y}$ . Y también se utiliza esta notación $<\vec{a},\vec{b}>=\sum_{i=1}^{n}a_ib_i$ . Para cualquier $r\in\mathbb{R}$ que tenemos: $$0\le <\vec{x}+r\vec{y},\vec{x}+r\vec{y}>=...=<\vec{y},\vec{y}>r^2+2<\vec{x},\vec{y}>r+<\vec{x},\vec{x}>$$ Ahora fijamos el discriminante $D\le0$ $$4<\vec{x},\vec{y}>-4<\vec{y},\vec{y}><\vec{x},\vec{x}>\le0$$ Aquí hay una cosa que no entiendo, ya que $D=b^2-4ac$ y $b=2<\vec{x},\vec{y}>$ por qué no es $$4<\vec{x},\vec{y}>^2-4<\vec{y},\vec{y}><\vec{x},\vec{x}>\le0$$ Puede que sea trivial pero no lo veo (o puede que haya copiado mal mis notas). El resto de la prueba sigue así: $$<\vec{x},\vec{y}>\le<\vec{y},\vec{y}><\vec{x},\vec{x}>$$ $$\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\le\sum_{i=1}^{n}x_i^2\sum_{i=1}^{n}y_i^2$$ $$\sum_{i=1}^{n}x_iy_i\le||\vec{x}||\cdot||\vec{y}||$$
