Resolución de la función del espacio de estado mediante el método Runge-Kutta

Question

Necesito implementar mi propia rutina de integración que tome la función del espacio de estado $f$ , variable libre $t$ y el estado inicial $x(0)$ como entrada y producir la solución $x(t)$ como salida. Pensé que usar el método Runge-Kutta sería genial. Pero no puedo entender cómo aplicarlo a la matriz de la función del espacio de estado. $$\dot{x}=f(t,x)$$ $$\dot{x}=A\cdot{x}$$ Sólo tengo $A$ matriz. ¿Cómo puedo aplicar el método Runge-Kutta? Por ejemplo, ¿podría proporcionar la solución paso a paso para: $$ \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -10 & -5 & -2 \\ \end{bmatrix} \quad $$ Gracias de antemano.

Answer 1

Tienes un sistema $\dot{x} = f(x)$ con

$$ f(x) = A x = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -10 & -5 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_2 \\ x_3 \\ -10 x_1 - 5 x_2 - 2 x_3 \end{pmatrix} $$

La fórmula de Runge Kutta con tamaño de paso $h$ es:

$$ \begin{align} k_1 &= f(x(t)) \\ k_2 &= f(x(t) + \frac{h}{2}k_1) \\ k_3 &= f(x(t) + \frac{h}{2}k_2) \\ k_4 &= f(x(t) + h k_3) \\ x(t + h) &= x(t) + \frac{h}{6}(k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4) \end{align} $$

Así que todo lo que tienes que hacer es elegir un tamaño de paso $h$ y la condición inicial $x(0) = x_0$ .

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Por ejemplo, utilice $h = 0.01$ y

$$ x_0 = \begin{pmatrix} 5 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} $$

Inserta esto:

$$ \begin{align} k_1 &= f(x_0) = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ -46 \end{pmatrix} \\ k_2 &= f(x_0 + \frac{h}{2}k_1) = \begin{pmatrix} -1.985 \\ 2.77 \\ -45.515 \end{pmatrix} \\ k_3 &= f(x_0 + \frac{h}{2}k_2) = \begin{pmatrix} -1.98615 \\ 2.772425 \\ -45.51485 \end{pmatrix} \\ k_4 &= f(x_0 + h k_3) = \begin{pmatrix} -1.97227575 \\ 2.5448515 \\ -45.02970925 \end{pmatrix} \\ \end{align} $$

Y así:

$$ x(0.01) = x(0) + \frac{0.01}{6}(k_1 + 2 k_2 + 2 k_3 + k_4) = \begin{pmatrix} 4.98014237375 \\ -1.972283830833333 \\ 2.544850984583333 \end{pmatrix} $$

Si se repite esto 500 veces se obtiene:

Si se simula aún más se puede ver que se trata de una oscilación no amortiguada, lo que tiene sentido porque los tres valores propios de $A$ son $-2, \sqrt{5}i, -\sqrt{5}i$ .