En $\lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n}}{n}$ convergen a $0$ ?

Question

Estaba resolviendo un problema de análisis real en el que el autor utilizaba lo siguiente para apoyar su argumento.

$$\lim_{n\to\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} = 0$$

¿Es válido el límite anterior?

Me llamó la atención que, como $1^\infty$ es una forma indeterminada, ¿podemos decir que el límite anterior es válido? Posibles valores conocidos a los que $1^\infty$ pueden ir son $1$ , $e$ y $\infty$ . ¿Podemos corroborar y decir que el límite anterior es válido?

Answer 1

El autor tiene razón. Es intercalado entre $\dfrac{-1}n$ y $\dfrac 1n$ .

Answer 2

Aquí es una prueba que no se basa en el teorema del sándwich por curiosidad.

Propuesta

Dejemos que $(a_{n})_{n=1}^{\infty}$ sea una secuencia de números reales. Entonces $a_{n}$ converge a $0$ si $|a_{n}|$ converge a cero.

Prueba

Demostraremos la implicación $(\Rightarrow)$ primero.

Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Entonces existe $n_{\varepsilon}\in\mathbb{N}$ tal que \begin{align*} n\geq n_{\varepsilon} \Rightarrow ||a_{n}| - 0| = |a_{n} - 0| \leq \varepsilon \end{align*} de lo que se deduce que $|a_{n}|$ converge a cero.

Un razonamiento similar se aplica a la implicación $(\Leftarrow)$ .

Solución

Desde $|a_{n}| = 1/n \xrightarrow{n\to\infty} 0$ concluimos que $a_{n}$ también converge a cero.

Espero que esto ayude.