cierre algebraico de $\mathbb{F}_5$ contiene $1$ campo de $5^2$ elementos

Question

Demostrar que el cierre algebraico de $\mathbb{F}_5$ contiene sólo 1 campo de $5^2$ elementos.

Si denotamos por $K$ el cierre algebraico de $\mathbb{F}_5$ y tomamos $\alpha \in K$ tal que $\alpha^2=2$ sabemos que $[\mathbb{F}_5(\alpha):\mathbb{F}_5]=2$ .

Ahora bien, si tomamos otro elemento $\beta \in K$ Debemos demostrar que $ \mathbb{F}_5(\beta) = \mathbb{F}_5(\alpha)$ .

No conozco mucha información sobre K, tal vez si calculo su cardinal, pueda utilizar los teoremas de Sylow para demostrar la unicidad de la extensión de grado 2 sobre $\mathbb{F}_5$ ?

Gracias.

Answer 1

Una pista:

1. Tenga en cuenta que $(2\alpha)^2=3$ y, por tanto, cada elemento de $\Bbb{F}$ tiene una raíz cuadrada en $\Bbb{F}(\alpha)$ .

2. Utiliza la fórmula cuadrática.

Answer 2

Puedes usar eso para cada número primo $p$ y todo número natural $n$ , un campo $\mathbb{F}_{p^n}$ de la característica $p$ y la cardinalidad $p^n$ es un campo de división del polinomio $f(X)\in\mathbb{F}_p[X]$ dado por $f(X)=X^{p^n}-X$ . Esto se deduce del Teorema de Lagrange aplicado al grupo de unidades $\mathbb{F}_{p^n}^{\times}$ . Así que si se fija un cierre algebraico $\overline{\mathbb{F}_p}$ se deduce la unicidad de dicho subcampo.