Dejemos que $X_1,X_2,\dotsc$ sea una secuencia de variables aleatorias acotadas y de media cero. Para $\alpha \in (0,1)$ definir $Z_t$ como la serie geométrica con $Z_t = \sum_{i=1}^t\alpha^{t-i}X_i$ y $\mathcal{F}_k = \sigma (X_1,..,X_k)$ para ser la filtración natural.
Quería aplicar La desigualdad de Azuma pero el proceso $\{Z_t\}$ no parece ser una martingala:
\begin{align} \mathbb{E}[Z_t \mid \mathcal F_{t-1}] &= \sum_{i=1}^t\alpha^{t-i} \mathbb{E}[X_i \mid \mathcal{F}_{t-1}] \\ &= \mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F}_{t-1}] + \alpha \sum_{i=1}^{t-1}\alpha^{t-i-1} \mathbb{E}[X_i \mid \mathcal{F}_{t-1}] \\ &= \mathbb{E}[X_t \mid \mathcal{F_{t-1}}] + \alpha \mathbb{E}[Z_{t-1} \mid \mathcal{F}_{t-1}] \\ &= 0 + \alpha Z_{t-1} \end{align} y, por tanto, no se puede aplicar la desigualdad de Azuma.
Sin embargo, como en mi anterior pregunta, para cualquier $t$ las variables aleatorias $Y_k = \alpha^{t-k}X_k$ son independientes y \begin{align} Z_t & = \sum_{k=1}^t Y_k. \end{align}
Ahora es posible utilizar La desigualdad de Hoeffding a la que se le ha puesto un límite $Z_t$ para cualquier $t$ .
¿Por qué se puede aplicar la desigualdad de Hoeffding, pero no la de Azuma, mientras que la primera es un caso especial de la desigualdad de Azuma?
