$A \in B$ vs $A \subset B$ para las pruebas

Question

Tengo que probar un par de declaraciones diferentes.

La primera es si $A \subset B$$B \subset C$, a continuación, probar $A \subset C$. Este es bastante sencillo, pero estoy atascado en la forma de la siguiente diferencia.

Probar que si $A \in B$$B \in C$$A \in C$.

Yo realmente no entiendo cómo poner esto en la lógica de los símbolos. Sólo he visto a $a \in A$ escrito pero nunca " $A$ es un elemento de un conjunto a $B$".

He aquí lo que tengo para una prueba en este punto, suponiendo que yo entender lo de "un conjunto $A$ es un elemento de un conjunto a $B$" significa: supongamos $A \in B$$B \in C$. A continuación,$A \in C$.

Answer 1

El % de implicación $A\in B \wedge B\in C \implies A\in C$es false. Tomar $B=\{A\}$ y $C=\{B\} = \{\{A\}\}$ tener un contraejemplo.

Answer 2

Tomar $A=\varnothing$, $B=\{\varnothing\}$ y $C=\{\{\varnothing\}\}$.

Entonces claramente $A\in B\wedge B\in C$, $A\in C$ implica $\varnothing=\{\varnothing\}$ cual no puede ser verdad.

Esto porque $\{\varnothing\}$ tiene elementos y $\varnothing$ no.

Concluimos que la implicación es falsa.

Answer 3

Sistema de membresía no es como poner cosas en una caja.

Si pones una caja de bombones en un cajón es cierto que el cajón contiene chocolates, pero el concepto de pertenencia a conjunto es diferente de esto. La membresía sólo considera la contención directa, por lo que en el lenguaje matemático el cajón contiene solamente un cuadro (y en esa caja hay chocolates).

Y ahí es donde está su razonamiento equivocado (matemáticamente).

Answer 4

Usted no puede probar eso si $A \in B$ y $B \in C$ y $A \in C$ porque no siempre es cierto.

Que $B = \{A, 1 \}$. Entonces $A \in B$

Que $C = \{ B,2\} = \{ \{A, 1 \}, 2 \}$

Son de los miembros de $C$ $\{A, 1 \}$ y $2$. Así $A \notin C$.

Sí $A$, se encuentra en $\{A, 1 \}$, pero no es en $C$.

Answer 5

Hay sistemas para que el % de relación $A\in B$es transitivo: ordinales establece, que se definen como establece que es el % de relación $x\in y$un estricto bien pedido.

Además de estos conjuntos, uno tiene $(A\in B)\Rightarrow(A\subset B)$.

Ejemplo: $X=\bigl\{\varnothing,\{\varnothing\},\{ \varnothing,\{\varnothing\}\}\bigr\}$.

Ha añadido:

Para contestar directamente la pregunta, la principal diferencia desde un punto de vista lógico, es que, mientras que $(A\in B)\wedge(B\in C)\Rightarrow (A\in C)$ consiste en conjuntos de elementos individuales, $(A\subset B)\wedge(B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)$ implica cuantificadores universales: $$\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\wedge \forall x(x\in B\Rightarrow x\in C)\Rightarrow\forall x(x\in A\Rightarrow x\in C).$ $