Dejemos que $\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ esté dotado de la topología del cociente con respecto a la topología estándar en $\mathbb{R}^n$ y denotar este espacio por $\mathbb{T}^n$ .
¿Existe un texto que introduzca $\mathbb{T}^n$ ¿con el fin de realizar un análisis armónico?
Por ejemplo, tengo curiosidad por saber cómo se puede definir una medida natural en este espacio para hablar de $L^2(\mathbb{T}^n)$ y esto es lo que he adivinado. Puedo ver el mapa $\phi:\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n \rightarrow S^n$ definido por $\phi(x_1+\mathbb{Z}^n,...,x_n+\mathbb{Z}^n)=(e^{2\pi i x_1},...,e^{2\pi i x_n})$ es un homeomorfismo. Además $\psi:[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]^n \rightarrow S^n:(x_1,...,x_n)\mapsto (e^{2\pi i x_1},...,e^{2\pi i x_n})$ es una proyección continua. Por lo tanto, una medida natural sobre $\mathbb{T}^n$ sería la medida de empuje del $n$ -medida de Lebesgue con respecto a $\phi^{-1}\circ \psi$ . ¿Estoy en lo cierto? Tengo curiosidad por saber si hay un texto que introduzca $\mathbb{T}^n$ tanto de rigor como expliqué arriba (me gustan los textos formales y un poco secos, que no se centran mucho en las intuiciones y los ejemplos). Gracias de antemano.
