Cálculo de la divergencia para coordenadas parabólicas.

Question

Estoy intentando calcular la divergencia para coordenadas parabólicas con el objetivo de comprobar si entiendo correctamente todas las nociones de análisis vectorial.

Definición de coordenadas parabólicas:

$$x = uv \\ y = \frac{1}{2}(u^2 - v^2)$$

En primer lugar, calculo $du$ y $dv$ : $$ dx = v du + udv \\ dy = udu-vdv $$

$$ dv = \frac{u}{u^2+v^2}dx - \frac{v}{u^2+v^2}dy\\ dv = \frac{v}{u^2+v^2}dx + \frac{u}{u^2+v^2}dy $$ Entonces calculo $e_u$ y $e_v$ - vectores base para el plano tangente en nuevas variables: $$ x_u = v \\ y_u = u \\ e_u = \frac{(x_u,y_u)}{||(x_u,y_u)||} = (\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}, \frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}) $$

$$ x_v = u \\ y_v = -v \\ e_v = \frac{(x_v,y_v)}{||(x_v,y_v)||} = (\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}, -\frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}) $$

Calculando $du(e_u)$ y $dv(e_v)$ : $$ du(e_u) = \frac{u^2+v^2}{\sqrt{u^2+v^2}(u^2+v^2)} = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}} (=dv(e_v)) $$ Observando que $du(e_v) = dv(e_u) = 0$ , dejemos que $(F, H)$ sea un campo vectorial.

Ahora necesito calcular la forma del área: $$dx\wedge dy = (u^2 + v^2)du\wedge dv$$ Y tomar el producto de interiour con mi campo: $$(u^2 + v^2)((du)(F,H) dv - dv(F,H) du) \\ = (u^2 + v^2)(\frac{F}{\sqrt{u^2+v^2}}dv - \frac{H}{\sqrt{u^2+v^2}}du) \\ = \sqrt{u^2+v^2}(Fdv-Hdu)$$ Luego aplico el diferencial sobre él para obtener mi divergencia como coeficiente: $$ d(\sqrt{u^2+v^2}(Fdv-Hdu)) \\ = (\frac{u}{\sqrt{u^2+v^2}}du + \frac{v}{\sqrt{u^2+v^2}}dv)\wedge(Fdv-Hdu) + \sqrt{u^2+v^2}(F_u du\wedge dv - H_v dv \wedge du) \\ = \frac{1}{\sqrt{u^2+v^2}}(uFdu \wedge dv - vH dv \wedge du) + \sqrt{u^2+v^2}(F_u + H_v) du \wedge dv \\ = (\frac{uF + vH}{\sqrt{u^2+v^2}} + \sqrt{u^2+v^2}(F_u + H_v)) du \wedge dv $$ Así que la divergencia de $(F, H)$ debe ser de la forma $$ \frac{uF + vH}{\sqrt{u^2+v^2}} + \sqrt{u^2+v^2}(F_u + H_v) $$ Pero allí Puedo ver que otro $\frac{1}{u^2 + v^2}$ se perdió en algún lugar. Pero no puedo encontrar dónde se perdió, así que pido ayuda para encontrarlo.

Answer 1

Gracias por la aclaración. OK, entonces el campo vectorial es dual al $1$ -forma $\omega = F\omega_1 + H\omega_2$ , donde $\omega_1 = \sqrt{u^2+v^2}\,du$ y $\omega_2=\sqrt{u^2+v^2}\,dv$ dan un cofrade ortonormal. [Nótese que la métrica $dx^2 + dy^2 = \omega_1^2 + \omega_2^2$ .]

Por supuesto, tenemos $\star\omega_1 = \omega_2$ y $\star\omega_2=-\omega_1$ . Así que \begin{align*} d(\star\omega) &= d(F\omega_2) - d(H\omega_1) = d\big(F\sqrt{u^2+v^2}dv\big) - d\big(H\sqrt{u^2+v^2}du\big)\\ &= \left(\sqrt{u^2+v^2}(F_u+H_v) + F\frac u{\sqrt{u^2+v^2}}+H\frac v{\sqrt{u^2+v^2}}\right)du\wedge dv \\ &= \left(\frac{F_u+H_v}{\sqrt{u^2+v^2}} + \frac{uF+vH}{(u^2+v^2)^{3/2}}\right)\omega_1\wedge\omega_2. \end{align*} Por último, utilizando $\star(\omega_1\wedge\omega_2) = 1$ tenemos $$\text{div} (F,H) = \frac{F_u+H_v}{\sqrt{u^2+v^2}} + \frac{uF+vH}{(u^2+v^2)^{3/2}}.$$