Interpretación en 4 dimensiones

Question

¿Se ha planteado alguna vez la hipótesis de que, en un espacio de 4 dimensiones, siendo el tiempo la 4ª D, un cuerpo podría viajar a través de las dimensiones a la velocidad combinada de $c$ ?

Si un cuerpo está en reposo en la 3ª dimensión clásica, viajaría en el tiempo a $c$ , pero si se viaja a $c$ en el espacio, estaría descansando en la dimensión "tiempo"...

Answer 1

Resulta que tiene toda la razón.

Las velocidades que encontramos en la vida cotidiana son velocidades 3D que son vectores definidos como:

$$ \vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}, \frac{dz}{dt}\right) $$

En la relatividad especial utilizamos una velocidad 4D llamada cuatro velocidades y esto es un cuatro vectores definido como:

$$ \vec{v} = \left(c\frac{dt}{d\tau}, \frac{dx}{d\tau}, \frac{dy}{d\tau}, \frac{dz}{d\tau}\right) $$

donde la cantidad $\tau$ se llama tiempo adecuado . La hora adecuada es la que aparece en un reloj que lleva el objeto en movimiento.

Pero hay algo curioso en esta cuatro-velocidad. Supongamos que elegimos las coordenadas $(t, x, y, z)$ en el que no me muevo. Entonces $dx/d\tau = dy/d\tau = dz/d\tau = 0$ . Pero me estoy moviendo en el tiempo, a un segundo por segundo, así que $dt/d\tau = 1$ . En ese caso mi cuatro-velocidad es:

$$ \vec{v} = (c, 0, 0, 0) $$

Y la magnitud de mis cuatro velocidades es $c$ . En otras palabras, me muevo a la velocidad de la luz incluso cuando estoy parado.

De hecho se puede demostrar fácilmente que la magnitud de la cuatro-velocidad es siempre $c$ . No lo haré aquí porque sospecho que las matemáticas son un poco más profundas de lo que quieres (grita si quieres la prueba y la editaré). Pero, básicamente, cuando se mueve el $dx/d\tau$ etc. no son cero pero la dilatación del tiempo cambia $dt/d\tau$ para compensar, por lo que la magnitud siempre se mantiene $c$ .