Relaciones entre tres subespacios

Question

Déjalo, $V$ sea un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb R$ y $ W_1,W_2,W_3$ sean subespacios de $V$ . ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es cierta?

1. Si $ W_1+W_2+W_3=V$ entonces $$\mathrm{span}(W_1\cup W_2) \cup \mathrm{span}(W_2\cup W_3) \cup \mathrm{span}(W_3\cup W_1) = V.$$
2. Si $W_1 \cap W_2 =\{0\}$ y $W_1 \cap W_3 =\{0\}$ entonces $W_1 \cap (W_2+W_3)=\{0\}$ .
3. Si $W_1+W_2=W_1+W_3$ entonces $W_2=W_3$
4. Si $V\neq W_1$ entonces $\mathrm{span}(V-W_1)=V$ .

Mi intento: Toma, $V=\mathbb R^3$ y $W_1=\{(x,y,z):\ y=0,z=0\}$ , $W_2=\{(x,y,z):\ x=0,z=0\}$ y $W_3=\{(x,y,z):\ x=0,y=0\}$ . Entonces se descarta la opción 1.

Toma $V=\mathbb R^2$ y $W_1=\{(x,y):\ y=x\}$ , $W_2=\{(x,y):\ x=0\}$ y $W_3=\{(x,y):\ y=0\}$ . Entonces se descarta la opción 2.

Toma $V=\mathbb R^2$ y $W_1=V$ , $W_2=\{(x,y):\ x=0\}$ y $W_3=\{(x,y):\ y=0\}$ . Está claro que la opción 3 queda descartada.

Así que la opción 4 es correcta. Pero no puedo demostrarlo. Por favor, ayúdame a demostrarlo

Answer 1

He aquí una prueba para la opción 4: si $V \neq W_1$ entonces $V - W_1 \neq \emptyset$ . Dejemos que $u \in V - W_1$ .

Queremos demostrar que $v \in V \implies v \in \operatorname{span}(V - W_1)$ . Tenga en cuenta que, si $v \in V - W_1$ entonces $v \in \operatorname{span}(V - W_1)$ trivialmente. Así que, en realidad, sólo tenemos que preocuparnos por $v \in W_1$ .

Supongamos que $v \in W_1$ y supongamos, en aras de la contradicción, que $v + u \in W_1$ . Entonces $u = (v + u) - v$ la diferencia de dos vectores en $W_1$ . Desde $W_1$ es un subespacio, esto hace que $u \in W_1$ , en contra de la suposición. Así, $v + u \in V - W_1$ .

Del mismo modo, tenemos $v - u \in V - W_1$ , ya que de lo contrario $u = v - (v - u) \in W_1$ contra la suposición. Ahora podemos ver que $$v = \frac{1}{2}(v + u) + \frac{1}{2}(v - u) \in \operatorname{span}(V - W_1),$$ completando la prueba.