¿Es cierto que si $E(X)=0$ entonces $E(X\mid\mathcal{G})=0$ ?

Question

Si $\mathcal{G}\subset \mathcal{F}$ es una sub álgebra sigma y $X$ es $\mathcal{F}$ -r.v. medible tal que $E(X)=0$ . ¿Es correcto que $E(X\mid\mathcal{G})=0$ ? Sé que lo contrario es cierto.

Answer 1

La respuesta y el comentario anterior utilizan contraejemplos en los que $X$ es $\mathcal{G}$ -Medible.

Por el bien del argumento, hagamos un ejemplo en el que $X$ no es $\mathcal{G}$ -Medible (en particular, $\mathcal{F} \neq \mathcal{G}$ ).

Dejemos que $\Omega = \{1,2,3,4\}$ , $\mathcal{F}$ sea el conjunto de potencias de $\Omega$ y $\mathcal{G} = \{\phi, \{1,2\}, \{3,4\}, \Omega\}$ . Ponga la medida uniforme en $(\Omega,\mathcal{F})$ Es decir, $\mathbb{P}(A) = \frac{1}{4} (\# A)$ .

Definir $X$ por $X(1) = -2$ , $X(2) = -1$ , $X(3) = 1$ y $X(4) = 2$ . Un cálculo muestra que $\mathbb{E}(X) = 0$ . Por otro lado, $Y = \mathbb{E}(X \mid \mathcal{G})$ viene dada por $Y(1) = Y(2) = -\frac{3}{2}$ y $Y(3) = Y(4) = \frac{3}{2}$ . En particular, $Y$ no es constante, aunque $\mathbb{E}(Y) = \mathbb{E}(X) = 0$ .

Answer 2

No. Deja que $\Omega$ sea un conjunto finito, $\mathcal F = \mathcal G=2^\Omega,$ y $X$ sea alguna variable aleatoria no constante con expectativa cero.