Problema de la matriz no cuadrada

Question

¿Existen $2$ matrices no cuadradas $A$ y $B$ de manera que ambos productos $AB$ y $BA$ están definidos y son matrices de identidad (por supuesto de distinto orden)?

Answer 1

No, no existen dos matrices no cuadradas de este tipo. Sea $A$ sea una matriz con $m$ columnas y $n$ filas ( $m>n$ ) y $B$ con $n$ columnas y $m$ filas. Añadir vectores de fila o columna cero a $A$ y $B$ para que sean matrices cuadradas. Entonces $AB=\begin{pmatrix}I_n&0\\ 0& 0\end{pmatrix}$ y $BA=I_m$ tienen rastros diferentes, una contradicción.

Answer 2

La respuesta es no, si EDIT $m,n >1$ :

Dejemos que $A$ ser de la marca $ n \times m$ y que $B$ sea $m\times n$ ( necesario para que la matriz del producto sea cuadrada) ; $n \neq m $ con EDIT $ n,m \geq 2$ . Entonces $B$ tiene un núcleo no trivial, lo que significa que hay un vector no nulo $v$ con $Bv=0$ . Entonces $AB$ es un $m \times m$ matriz con $ABv=A(Bv)=A.0=0$ para un vector no nulo $v$ para que $AB$ no puede ser la identidad. Un argumento similar muestra que $BA$ tampoco puede ser la matriz identidad.

EDIT: El $ (N+1) \times n$ matriz $B= [I_n 0 ]^T $ es no un contraejemplo:

Dado cualquier vector $v= [0 0 ..... x ]^T$ con n 0 entradas y el $(n+1)$ cualquier número, entonces $$ Bv= [ I_n 0 ] ^T [ 0 0...x] =0 $$

EDIT 2: Mi punto no pasó por alguna razón . Es no posible para ambos $AB$ y $BA$ sea la identidad: $A$ es $m \times n$ , $B$ I $n \times m $ entonces, por aritmética básica, o bien $m>n$ o $n>m$ , digamos que $n>m$ wolg. Entonces $B$ tiene un núcleo no trivial $K$ . Diga $v \neq 0, Bv=0$ . Entonces $ABv= A(Bv)= A0=0 $ pero $Id.v =v \neq 0 $ , por lo que AB no puede ser la identidad.