Secuencia no limitada que no diverge a $+ \infty$ o a $- \infty$

Question

Estoy tratando de encontrar un ejemplo de secuencias tales que

$$a_n \to + \infty \quad \text{and} \quad b_n \to 0$$

$$a_n b_n \text{ is unbounded but does not diverge to }+ \infty \text{ or} - \infty$$

¿Es eso posible? Sólo se me ocurren secuencias acotadas pero no convergentes; $(-1)^n$

Answer 1

SUGERENCIA: Haga $\langle a_n:n\in\Bbb N\rangle$ divergen a $+\infty$ rápidamente y $\langle b_n:n\in\Bbb N\rangle$ convergen a $0$ lentamente y con signo oscilante .

Answer 2

Si partimos de una buena $a_n\cdot b_n$ , digamos que $a_n\cdot b_n=n(-1)^n$ el resto es sencillo, por ejemplo $a_n=n^2$ , $b_n=\frac1n(-1)^n$ .