¿Hasta dónde puedo extender una geodésica y que siga siendo un camino más corto?

Question

En primer lugar, voy a preparar la escena: supongamos que $M$ es una variedad compacta y lisa dotada de una métrica de Riemann. El teorema de Hopf-Rinow garantiza que dos puntos cualesquiera $x,y\in M$ puede unirse mediante una geodésica, y de todas las geodésicas que unen $x$ y $y$ al menos uno es el camino más corto desde $x$ a $y$ .

Esto es lo que intento demostrar. Dejemos que $p\in M$ . Quiero demostrar que hay un barrio $U$ de $p$ de manera que si $x,y\in U$ puedo extender una geodésica de camino más corto desde $x$ a $y$ a un tercer punto $z$ para que el camino sea también un camino más corto desde $x$ a $z$ . El teorema de Hopf-Rinow garantiza que la geodésica de $x$ a $y$ puede extenderse más allá de $y$ pero, ¿cómo puedo garantizar que la geodésica siga siendo el camino más corto aunque sea un poco?

Answer 1

Esto es, por ejemplo, una consecuencia del hecho de que el radio de inyectividad (ver aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Cut_locus_(Manifold_Riemanniano) ) de una variedad compacta y lisa está acotada por debajo (es semicontinua superior, véase, por ejemplo, aquí: La continuidad del radio de inyectividad Pero también lo encontrarás en los libros de texto sobre geometría diferencial). Si se observa una vecindad de un punto $p$ de la forma $$\{\exp_p(tv): 0\le t \le r_i(p),\, v\in T_pM, ||v||= 1)$$ con $r_i(p)$ siendo el radio de inyectividad de $M$ en $p$ , entonces cualquier geodésica que comience en $p$ con una longitud inferior a $r_i(p)$ se minimizará.

Sólo tienes que hacer tu barrio $U$ lo suficientemente pequeño como para obtener el resultado deseado.

El concepto pertinente es (fuerte) convexidad geodésica .

Las referencias son, por ejemplo, Cheeger-Ebin, Comparison theorems in Riemannian Geometry, o Klingenbergs 'Riemannian Geometry' (y muchos otros libros de texto).