Preguntas rápidas de series infinitas

Question

¿Esto es cierto?

$$1.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+88n}=\frac{1}{88}\sum_{n=1}^{88}\frac{1}{n}$$

$$2.\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+4n}=\frac{25}{48}$$

Para la primera, es un factor. ¿No está factorizado correctamente? Porque el límite es de $\infty$ a $88$ y si se multiplica $\frac{1}{8}$ con la otra fracción, no es lo mismo.

Para la segunda, es básico encontrar si es convergente. Encuentro el patrón $\frac{1}{5}+\frac{1}{12}+\frac{1}{21}$ etc.

Answer 1

$$\frac{1}{n^2 + 88n} = \frac{1}{n(n+88)} = \frac{1}{88}\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+88} \right).$$ Por lo tanto, $$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2 + 88n} = \frac{1}{88} \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} - \frac{1}{n+88} = \frac{1}{88} \sum_{n=1}^{88} \frac{1}{n}.$$

La otra suma se maneja de manera similar.