Cambio de base tor y plana

Question

Hay un resultado interesante en el libro de álgebra homológica de Rotman. Sea $A$ ser un $R$ -módulo, $B$ ser un $(R,S)$ -bimódulo y $C$ un $S$ -módulo. (Todos los anillos son conmutativos). Entonces el Corolario 10.61 (en la versión de 2009) dice

Si ${}_R B_S$ es plana en cualquiera de sus lados, entonces $$\text{Tor}^S_n(A \otimes_R B,C) \simeq \text{Tor}^R_n(A,B \otimes_S C)$$

Si en particular si dejamos que $B = S$ (asumiendo que esto también es un $R$ -módulo pero no necesariamente $R$ -plano) entonces $$\text{Tor}^S_n(A \otimes_R S,C) \simeq \text{Tor}^R_n(A,C)$$

Sin embargo, si partimos de una resolución proyectiva de $A$ , $P^\bullet \to A$ , $\text{Tor}^R_*(A,C)$ es la homología del complejo $P^\bullet \otimes_R C$ . Pero no parece automático que $P^\bullet \otimes_R S \to A \otimes_R S$ será una resolución proyectiva a menos que $S$ es $R$ -plana.

¿Qué me falta?

Editar : Este es un esquema del argumento que da Rotman. Si $A_R$ y ${}_RB_S$ satisfacer $\text{Tor}^R_i(A,B\otimes_S,P) = 0$ para todos $i \ge 0$ siempre que ${}_S P$ es proyectiva, entonces existe una secuencia espectral $$\text{Tor}_p^R(A,\text{Tor}_q^S(B,C))\Rightarrow \text{Tor}_n^S(A \otimes_RB,C)$$

Ahora bien, si $B_S$ es plana y ${}_SP$ es proyectiva (por tanto plana) entonces $B \otimes_S P$ es un piso $R$ -Módulo $^\ast$ entonces la hipótesis de la secuencia espectral se mantiene, y colapsa al isomorfismo deseado.

( $^\ast$ ¿Es esto cierto?)

Answer 1

Debería formar parte de las hipótesis que $S$ es un piso $R$ -módulo. Dudo que el teorema sea cierto para extensiones de anillos generales.

Sospecho que lo que Rotman quiere decir con "plano en ambos lados" es que es plano en ambos lados.

Answer 2

Esto es cierto en general (suponiendo, como estoy seguro que se quiso decir, que $B$ es plana "en cualquier lado" significa en ambos lados), y no creo que necesites que los anillos sean conmutativos. Si $P_* \to A$ es una resolución libre, entonces $P_* \otimes_R B$ tiene grupos de homología $Tor^R(A,B)$ y por lo tanto también es exacto por encima del grado cero. Entonces también es una resolución -- no por objetos libres o proyectivos, sino (ya que $P_*$ era libre) por sumas directas de copias de $B$ . Esto hace que $P_* \otimes_R B$ en una resolución de $A \otimes_R B$ por plano a la derecha $S$ -módulos, y eso es suficiente para computar Tor.

Esto hace que la homología del complejo $(P_* \otimes_R B) \otimes_S C$ en algo que calcule $Tor_S(A \otimes_R B, C)$ .

Por otro lado, es isomorfo al complejo $P_* \otimes_R (B \otimes_S C)$ , que más directamente es algo que computa $Tor_R(A,B \otimes_S C)$ .

(Esto parece un poco ad-hoc. Una perspectiva de Tor es que se permite tomar una resolución de un lado, o del otro, o de ambos lados y tensor juntos las resoluciones; así es como se suele demostrar que Tor sobre un anillo conmutativo es simétrico. Para este problema, eso significa que se pueden tomar resoluciones de $A$ y $C$ simultáneamente, lo que desde cierta perspectiva podría limpiar este argumento).