Si $U$ está abierto, ¿es cierto que $U = \operatorname{Int}(\overline{U})$ ?

Question

¿Puede alguien verificar esta prueba? Soy consciente de que debe haber una pregunta similar en otro lugar, pero necesito ayuda con mi prueba en particular.

Si $U$ está abierto, ¿es cierto que $U = \operatorname{Int}(\overline{U})$ ?

No. Considera el conjunto $\mathbb{R}$ bajo la topología de complemento finito. Conjunto $U = \mathbb{R} - \{1, 2, 3\}$ . Entonces, $\overline{U} = \mathbb{R}$ y $\operatorname{Int}(\overline{U}) = \mathbb{R}$ .

Answer 1

Sólo hay que tener en cuenta $U = (0, 1) \cup (1, 2)$ que está abierto en $\mathbb{R}$ con la topología habitual. A continuación, $U \neq \mathrm{Int}(\overline{U})$ porque $ 1 \notin U$ mientras que $1 \in \mathrm{Int}(\overline{U})$ .

Answer 2

Prueba los racionales. Entonces esta conjetura fracasa estrepitosamente.
Si lo que quieres es abrir, enumera los racionales con $x_n$ y poner $$G = \bigcup_n(x_n-\epsilon/2^n, x_n + \epsilon/2^n).$$ Este conjunto es diminuto, su cierre es la línea.