Por qué $\frac{(1-x)\log(1-x)}{x\log x}$ es creciente en (0, 1)?

Question

Dejemos que $f(x)=\frac{(1-x)\log(1-x)}{x\log x}$ . Encuentro uno afirma que esta función está aumentando en $(0,1)$ . Aunque me parece que el numerador de $f'(x)$ es $$-x\log x -\log x\log(1-x)-(1-x)\log(1-x).$$ Me pregunto por qué no es negativo.

Answer 1

Considere la función $g(x)=\frac{\log(1-x)}{x}$ . Entonces

$$f(x)=\frac{g(x)}{g(1-x)}$$

Tomar una derivada de $g$ :

$$g'(x)=-\frac{x+(1-x)\log(1-x)}{x^2(1-x)}$$

Consideremos la función auxiliar $h(x)=x+(1-x)\log(1-x)$ . Utilizamos un argumento estándar para demostrar que es positivo. Su derivada es $h'(x)=-\log(1-x)$ que es positivo en el intervalo $(0,1)$ y eso significa que h es creciente. Sin embargo, $h(0)=0~,~h(1)=1$ lo que demuestra, dada su monotonicidad, que $h(x)\geq 0, x\in(0,1)$ .

Por lo tanto, finalmente concluimos que en el intervalo $(0,1)$ $g'(x)\leq 0$ y por tanto g es decreciente. Sabiendo esto, también podemos concluir que $g(1-x)$ es creciente en el mismo intervalo desde la transformación $x\to 1-x$ invierte la monotonicidad pero deja el intervalo invariable. Finalmente vemos que $1/g(1-x)$ es decreciente ya que $g(1-x)$ es no evanescente en este intervalo y, por tanto, tiene el mismo signo (de hecho, es negativo).

Ahora, observe que las funciones $u_1(x)=-g(x)$ y $u_2(x)=-1/g(1-x)$ son crecientes y positivos. Se puede demostrar fácilmente que la multiplicación de funciones crecientes y positivas da como resultado una función creciente y positiva también. Como $f(x)=u_1(x)u_2(x)$ concluimos que $f$ es creciente y con esto concluye la prueba.

Answer 2

Usando la serie Taylor: $$\frac {\ln(1-x)}{x}=-\frac {x+\frac {x^2}2+...}x=- (1+\frac x2+...)$$ Que está disminuyendo, de manera similar: $$\frac {\ln(x)}{1-x}=-\frac{\ln(1-(1-x))}{1-x}=-(1+\frac{1-x}2+...)$$ Que es creciente, entonces su recíproco $\frac {1-x}{\ln(x)}$ está disminuyendo.

Como estos dos son negativos, entonces multiplicados juntos son crecientes.

Answer 3

(No es una respuesta completa, pero espero que se acerque lo suficiente)

Quiere demostrar que $$ x \log(x)+ (1-x)\log(1-x) \le - \log(x) \log(1-x)$$ Dividir en ambos lados por $\log(x) \log(1-x)$ y esto es $$ \frac{x}{\log(1-x)} + \frac{1-x}{\log(x)} \le -1 $$

Es de la forma $$ f(x) + f(1-x) \le c$$ donde $f(x) = \frac{x}{\log(1-x)}$ . No sé si hay una forma agradable de mostrar esto.

Pero la forma no tan amable es que Taylor amplíe $$ \frac{x}{\log(1-x)} = -1 + \frac{x}{2} + \frac{x^2}{12} + \frac{x^3}{24} + \dotsm $$ $$ \frac{1-x}{\log(x)} = -1 + \frac{1-x}{2} + \frac{(1-x)^2}{12} + \frac{(1-x)^3}{24} + \dotsm $$

Ahora que los sumas, ves que el RHS se convierte en $$ -2 + \frac{1}{2} + \frac{x^2 + (1-x)^2}{12} + \frac{x^3 + (1-x)^3}{24} + \dotsm $$ $$ \le -2 + 1 + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} + \dotsm $$

Pero entonces mostrando que la última suma es $\le -1$ me parece claro, pero tal vez quiera una justificación más concreta...