Dejar aa y bb dos elementos de un grupo GG .
1. Demuestra que: (ab)−1=b−1a−1(ab)−1=b−1a−1 .
2-prueba eso: ab=baab=ba si y sólo si (ab)−1=a−1b−1(ab)−1=a−1b−1 .
Trato de demostrarlo de la siguiente manera (ab)−1=a−1b−1=b−1a−1(ab)−1=a−1b−1=b−1a−1
Respuesta
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Zulu
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(1) Su prueba supone que xy=yxxy=yx . ¿Es eso cierto?
Si xx y yy son los inversos de cada uno, entonces xy=1=yxxy=1=yx . Por lo tanto, si abab y b−1a−1b−1a−1 son cada uno de los otros inversos, entonces ...
(2) Los inversos son únicos, mira los inversos de abab y baba con (1) en mente.
Hasta aquí las pistas, ahora más explícitas:
(1) Calcula (ab)(ab)−1=(ab)(b−1a−1)=a(bb−1)a−1=aa−1=1(ab)(ab)−1=(ab)(b−1a−1)=a(bb−1)a−1=aa−1=1 . Por lo tanto, esta debe ser la inversa (única) de abab .
(2) Si ab=baab=ba entonces (ab)−1=(ba)−1(ab)−1=(ba)−1 Por lo tanto (ab)−1=(ba)−1=a−1b−1(ab)−1=(ba)−1=a−1b−1 debido a (1).
La otra forma: Podríamos hacerlo diciendo que los inversos son únicos, y como el inverso de abab es la misma que la inversa para baba Debe ser que ab=baab=ba . Más explícito: Tenemos (ab)−1=a−1b−1(ab)−1=a−1b−1 pero seguimos teniendo el resultado de (1): (ab)−1=b−1a−1(ab)−1=b−1a−1 y (ba)−1=a−1b−1(ba)−1=a−1b−1 . La combinación de estos datos da como resultado b−1a−1=(ab)−1=a−1b−1=(ba)−1b−1a−1=(ab)−1=a−1b−1=(ba)−1 .
