Dejar $a$ y $b$ dos elementos de un grupo $G$ .
1. Demuestra que: $(ab)^{-1} =b^{-1} a^{-1}$ .
2-prueba eso: $ab=ba$ si y sólo si $(ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1}$ .
Trato de demostrarlo de la siguiente manera $(ab)^{-1}=a^{-1} b^{-1} =b^{-1} a^{-1}$
Respuesta
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Zulu
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(1) Su prueba supone que $xy=yx$ . ¿Es eso cierto?
Si $x$ y $y$ son los inversos de cada uno, entonces $xy=1=yx$ . Por lo tanto, si $ab$ y $b^{-1}a^{-1}$ son cada uno de los otros inversos, entonces ...
(2) Los inversos son únicos, mira los inversos de $ab$ y $ba$ con (1) en mente.
Hasta aquí las pistas, ahora más explícitas:
(1) Calcula $(ab)(ab)^{-1}=(ab)(b^{-1}a^{-1})=a(bb^{-1})a^{-1}=aa^{-1}=1$ . Por lo tanto, esta debe ser la inversa (única) de $ab$ .
(2) Si $ab=ba$ entonces $(ab)^{-1}=(ba)^{-1}$ Por lo tanto $(ab)^{-1}=(ba)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ debido a (1).
La otra forma: Podríamos hacerlo diciendo que los inversos son únicos, y como el inverso de $ab$ es la misma que la inversa para $ba$ Debe ser que $ab=ba$ . Más explícito: Tenemos $(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ pero seguimos teniendo el resultado de (1): $(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}$ y $(ba)^{-1}=a^{-1}b^{-1}$ . La combinación de estos datos da como resultado $b^{-1}a^{-1}=(ab)^{-1}=a^{-1}b^{-1}=(ba)^{-1}$ .
