Estoy leyendo "Ecuaciones diferenciales estocásticas" de Bernt Oksendal.
Dice que el movimiento browniano $B_t$ es un proceso gaussiano, es decir, para todo $0 \leq t1 \leq \cdots \leq t_k$ la variable aleatoria $Z = (B_{t_1}, \ldots, B_{t_k} ) \in \mathbb{R}^{nk}$ tiene una distribución (multi)normal con $M = E^x[Z]$ sea el valor medio de $Z$ , y $c_{jm} = E^x[(Z_j - M_j)(Z_m -M_m)]$ sea la matriz de covarianza de $Z$ .
El libro muestra
$$M=E^x[Z]=(x, x, \cdots, x)\in \mathbb{R}^{nk}$$
y $$C[c_{jm}]=\begin{pmatrix} t_1 I_n & t_1 I_n & \cdots & t_1 I_n \\ t_1 I_n & t_2 I_n & \cdots & t_2 I_n\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ t_1 I_n & t_2 I_n & \cdots & t_k I_n \end{pmatrix}\in \mathbb{R}^{nk\times nk}$$
A continuación, el libro afirma que $$E^x[(B_t-x)(B_s-x)]=n \min(s,t) \tag{1}$$ y $$\begin{align} E^x[(B_{t_{i}}-B_{t_{i-1}})(B_{t_{j}}-B_{t_{j-1}})]&=E^x[B_{t_{i}}B_{t_{j}}-B_{t_{i-1}}B_{t_{j}}-B_{t_{i}}B_{t_{j-1}}+B_{t_{i-1}}B_{t_{j-1}}]\\&=n(t_i-t_{i-1}-t_i+t_{i-1})=0\tag{2} \end{align}$$
Creo que $(1)(2)$ se desprende de la forma de la matriz de covarianza. Pero no sé cómo interpretar $C$ y cómo obtener el resultado exactamente. Por ejemplo, ¿por qué tenemos $n$ en los resultados?
