¿Cómo podemos medir la longitud de una curva en $\mathbb{R}^2$ utilizando una cinta métrica?
Bueno, como se mencionó en un comentario anterior:
Coge la cinta, ajústala a la curva y lee la longitud. Como si funcionara en la vida real.
Pero aquí hay cierta sutileza.
En primer lugar, no es posible medir las longitudes de las curvas como hacemos con los objetos "lineales" en la vida real. Porque las líneas matemáticas no tienen anchura ni volumen, mientras que los objetos reales sí, y los objetos reales son discretos a nivel atómico, mientras que las líneas matemáticas no tienen agujeros.
Pero, incluso dejando de lado esta objeción, el resto del procedimiento sigue teniendo cierta sutileza. Dada una cinta métrica "matemática" o una cinta métrica idealizada (que no tenga anchura yadda yadda), seguro que podemos ajustarla/adjuntarla a la curva y así leer su longitud.
Bueno, para eso necesitaríamos una cinta métrica matemática. ¿Tenemos una?
Sí. La línea real viene a nuestro rescate. Es una "cinta métrica" que está naturalmente normalizada para que la longitud de $[0,1]$ es $1$ y que no sufre ninguno de los inconvenientes de una cinta métrica física. Así, la línea real puede utilizarse para medir las longitudes de las curvas.
Genial, pero ¿cómo ajustamos/adjuntamos la línea real a una curva dada, para poder leer su longitud?
Aquí la cosa se complica un poco.
Cuando ajustamos la recta real a una curva, estamos definiendo una función $f$ de un subconjunto de $\mathbb{R}$ a la curva, que es "preservadora de la distancia". En este caso, preservar la distancia tiene un significado diferente: no significa que $d(\mathbf{x},\mathbf{y})$ es la distancia euclidiana entre los puntos $\mathbf{x}$ y $\mathbf{y}$ en la curva cuando se ven como puntos en $\mathbb{R}^2$ . En cambio, la distancia entre estos puntos es la longitud de la curva entre estos puntos. Por lo tanto, estamos viendo la curva como un espacio métrico con la distancia entre dos puntos definidos como la longitud en la curva entre estos puntos.
Pero esto es totalmente inútil porque es circular. El mapeo $f$ se caracteriza por preservar la distancia, pero la distancia entre dos puntos se define como la longitud de la curva entre esos puntos. Que se define por $f$ . La circularidad.
Y esto sin llegar al hecho de que estamos asumiendo sutilmente que la curva es simple (sin auto-intersecciones). Y lo que es más desastroso, ¿cuál es el subconjunto de $\mathbb{R}$ en el que $f$ ¿se define? Se puede considerar que es $[0,l]$ donde $l$ es la longitud de la curva. Así que $f$ se define por la longitud de la curva y define al mismo tiempo la longitud de la curva. Más circularidad.
¿Tal vez si en lugar de eso ajustamos la curva a la cinta? Incluso eso no funciona porque para definir una función "preservadora de la distancia" $f$ necesitamos saber cuál es la distancia entre dos puntos de la curva, y esa distancia viene dada por $f$ sí mismo. La circularidad permanece.
Una pequeña reflexión sobre la discusión anterior debería dejar claro que el problema de medir la longitud de una curva utilizando una cinta métrica (ajustándola a la curva y leyendo su longitud) es que estamos definiendo la longitud de una curva en $\mathbb{R}^2$ de la siguiente manera:
La longitud de una curva es cualquiera que sea su longitud.
¡Esto es correcto! Pero totalmente inútil.
¿Cómo podemos arreglar este estado de cosas? Consideremos, por ejemplo, cómo medimos el área bajo la gráfica de una función $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ . Nosotros podría digamos:
Pues bien, para medir el área sólo tenemos que reordenar la forma conservando su "masa", de modo que ahora parece un $1 \times l$ rectángulo. Entonces podemos leer el área a partir de su longitud $l$ .
De nuevo, ¡esto es correcto! Pero, ¿cómo puede ser útil?
Obsérvese, por otra parte, lo útil que es la idea de la suma de Riemann y la integral de Riemann en comparación con lo anterior.
Cualquiera que sea el área, seguramente es mayor que la suma de las áreas de los rectángulos en una suma de Riemann inferior y menor que la suma de las áreas de los rectángulos en una suma de Riemann superior. En particular, cualquiera que sea el área, se encuentra entre $\,\sup L(f,P)\,$ y $\,\inf U(f,P)$ . Si estos dos valores son iguales, lo más lógico es decir que el área es este valor común. Si estos dos valores no son iguales, lo más lógico es decir que el área no está definido para esa función en particular $f$ .
No sólo hemos encontrado una definición susceptible de ser computada, sino que hemos conseguido especificar claramente cuando el área está incluso definida en primer lugar algo que no se desprende de nuestra anterior definición de área. De hecho, es tan robusta que incluso podemos calcular el área bajo algunas funciones que son discontinuas en muchos puntos, funciones que hacen que la idea de "forma" del área sea redundante y, por tanto, también la primera definición.
Por ello, también utilizamos la misma intuición para definir la longitud de una curva.
Cualquiera que sea la longitud de la curva, seguramente no es menor que la suma de las longitudes de los segmentos de línea que conectan finitamente muchos puntos a lo largo de la curva desde el principio hasta el final. Si la curva se describe mediante la parametrización $\gamma$ entonces algunos argumentos geométricos sencillos, seguidos de la toma de la suma del conjunto de valores calculados para diferentes elecciones de segmentos de línea da la expresión $$\int_0^1 |\dot{\gamma}(t)| dt$$ para el supremum. Entonces, lo más lógico es decir que esta integral es la longitud de la curva cuando existe esta integral . Cuando la integral no existe, decimos que la longitud de la curva no está definido .
