¿Puede haber un intervalo en el que $F(x)=4 x^2-\frac{1}{2}$ ¿es caótico?

Question

La función $$F(x)=4 x^2-\frac{1}{2}$$ tiene dos puntos fijos de repulsión. Ahora, me pregunto, ¿puede haber un intervalo $I$ donde es caótico? Creo que no, debido a la repulsión de los puntos fijos. ¿Qué piensa usted?

Answer 1

Es una función caótica. De hecho, la repulsión de los puntos fijos es la clave: a menos que haya al menos dos puntos fijos repulsivos, esta función no puede ser caótico. Si ambos puntos fueran atractivos, entonces cada órbita terminaría en uno de ellos. Si un punto fuera atractivo y el otro repulsivo, entonces cada órbita terminaría en el primer punto o en el infinito. Sólo porque hay diferentes puntos fijos repulsivos puede la órbita "bailar" alrededor.

Ahora bien, es muy cierto que, lo suficientemente lejos de estos puntos fijos (como $x>1$ ), la órbita tenderá a alejarse y alejarse de ellos e ir al infinito. Examina la órbita de los puntos dentro de $[-1/2,1/2]$ . El valor mínimo de $F$ en este intervalo es $-1/2$ (cuando $x=0$ ) y el máximo es $1/2$ (cuando $|x|=1/2$ ). Por lo tanto, el intervalo se mapea a sí mismo. Como el intervalo se mapea a sí mismo pero no contiene puntos fijos atractivos, las órbitas deben circular dentro del intervalo para siempre, sin establecerse nunca en un punto.

Esto no descarta que una órbita pueda establecerse en una órbita periódica. Para demostrar que la función es caótica hay que demostrar que $F^2, F^3, F^4, ...$ tampoco tienen puntos fijos estables -- si los tuvieran, esto correspondería a una órbita periódica estable. Esta es una prueba más difícil, pero muestra que la función es realmente caótica.

Answer 2

Si lo que se pregunta es si puede ser potencialmente caótico, por supuesto que sí. El mapa logístico estándar es caótico al tener dos puntos fijos repelentes. Tendría obstáculos a la caoticidad si tuviera puntos fijos de atracción.