¿El functor Borel lleva las fibraciones equivariantes a las fibraciones?

Question

Dejemos que $p\colon X\to B$ sea un fibrado. Sea $G$ sea un grupo topológico que actúa de forma continua sobre $X$ y $B$ y asumir que el mapa $p$ es $G$ -equivariante.

Podemos aplicar el functor de Borel $EG\times_G-$ para un contrato libre $G$ -espacio $EG$ . Esto da un mapa $1\times_G p\colon EG\times_G X\to EG\times_G B$ .

¿En qué condiciones en el grupo $G$ y las acciones es el mapa $1\times_G p$ ¿se garantiza que sea una fibración?

Se agradecen las referencias.

Answer 1

Si $\pi:EG \to BG$ es un numerable $G$ -principal paquete y si $p$ es una fibración de Hurewicz, entonces el mapa $1 \times_G p$ es una fibración de Hurewicz.

Prueba de ello: Sea $U \subset BG$ sea abierto, de manera que $EG \to BG$ es trivial sobre $U$ . Observe que $\pi^{-1}(U) \times_G B \cong U \times B$ . Igualmente para $X=E$ en lugar de $B$ y el mapa $1 \times_G p:\pi^{-1}(U) \times_G X \to \pi^{-1}(U) \times_G B$ es el producto de la identidad en $U$ con $p:X \to B$ . Por lo tanto, $1 \times_G p: \pi^{-1}(U) \times_G X \to \pi^{-1}(U) \times_G B$ es una fibración de Hurewicz. Por lo tanto, podemos encontrar un recubrimiento numerable de $EG \times_G B$ tal que la restricción del mapa $1 \times_G p$ a cada uno de los mapas de cobertura es una fibración de Hurewicz.

Para terminar la demostración, utilice el teorema de que las fibraciones locales de Hurewicz son fibraciones de Hurewicz (véase May, "A concise course in algebraic topology", p. 49 o tom Dieck "Algebraic topology", Theorem 13.4.1).

Si asume $p$ sólo para ser una fibración de Serre, se obtiene que $1 \times_G p$ es una fibración de Serre con un argumento similar.

Answer 2

Creo que lo que preguntas es cierto siempre que $X\to B$ considerado como un mapa unequivariante, es una fibración de Serre.

En primer lugar, algunas definiciones:

Llamar a un mapa de $G$ -espacios $E \to B$ a $G$ -si y sólo si para todos los subgrupos $H\subset G$ el mapa de puntos fijos $E^H \to B^H$ es una fibración de Serre. En particular, $EG \times E \to EG \times B$ es un $G$ -Serre si y sólo si es una fibración de Serre de espacios unequivariantes. Se sabe que esta noción de fibración surge de una estructura modelo en $G$ -espacios, en los que un mapa $X\to Y$ es un $G$ -equivalencia débil si cada mapa de conjuntos de puntos fijos $X^H \to Y^H$ es una equivalencia homotópica débil. Un mapa $X\to Y$ es un $G$ -cofibración si $Y$ se obtiene de $X$ adjuntando celdas de la forma $D^n \times (G/H)$ donde $H$ -varía a través de los subgrupos y los mapas adjuntos son $G$ -o, más generalmente, si el par $(Y,X)$ es un repliegue de un pariente $G$ -complejo celular.

No conozco una referencia de lo anterior, pero confío en que esté en la literatura. (Añadido más tarde: ver el comentario de abajo para dos referencias).

Ahora el argumento:

Supongamos que $A\to U$ es una cofibración acíclica en la estructura del modelo de Serre sobre espacios. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $U$ se obtiene de $A$ por medio de la fijación de las células. Supongamos que nos dan un problema de elevación:

$A \to X \times_G EG $

$\downarrow\qquad \qquad \downarrow$

$U \to B\times_G EG$

Tenemos que encontrar un mapa $U \to X\times_G EG$ haciendo que el diagrama se conmute.

He aquí cómo: retrotraer lo anterior a un problema de elevación equivariante

$\tilde A \to X \times EG $

$\downarrow\qquad \qquad \downarrow$

$\tilde U \to B\times EG$

donde $\tilde A$ por ejemplo, viene dada por el pullback de $A \to BG \leftarrow EG$ (el mapa $A\to BG$ es el compuesto $A\to X\times_G EG \to BG$ ). Es relativamente sencillo comprobar que la inclusión $\tilde A\to \tilde U$ es un acíclico $G$ -cofibración, donde las celdas que se adjuntan son de la forma $D^n \times G$ Es decir, son gratis.

De la estructura de la categoría del modelo se deduce que $G$ -que hay una elevación equivariante $\tilde U \to X\times EG$ haciendo que el diagrama se conmute. Ahora toma las órbitas para obtener la elevación a $$ U \to X\times_G EG $$ resolver el problema de elevación original.