Informática de los grupos de homología.

Question

Deje $X$ ser el espacio obtenido por primera extracción de la el interior de dos cerrados disjuntos de los discos de la unidad de disco cerrado en $\mathbb R^{2}$ y, a continuación, la identificación de sus límites de las agujas del reloj. Calcular la homología de este espacio.

Mi idea es hacer esto utilizando el celular de homología: podemos tener celular compleja estructura en $X$: una $0$-célula, de una $1$-célula y un $2$-célula. Fijación de la $2$-celda a la $1$-esqueleto por primera inmersión de la $S^{1}$ a $3$ partes, entonces la asignación de estas piezas a la $1$-esqueleto en la misma dirección.

Así, el celular mapa de los límites de $d_2$ será la multiplicación por $3$ y tenemos la homología de grupos de $H_{0}(X)=\mathbb Z$$H_{1}(X)=\mathbb Z_{3}$$H_{i}(X)=0$, de lo contrario.

Por favor, compruebe los cálculos y compartir algunas ideas para ese tipo de preguntas. Gracias de antemano!

Answer 1

Muchas gracias a Steve D, user17786, y david Hartman, por sus útiles correcciones.

En primer lugar, pongo una celda de la estructura de la doble-disco perforado con 3 0-células, 5 1-células, y 1 2-celular:

Tenga en cuenta que el límite de la 2-celda $D$ es $$d_2D=\alpha+\beta+\gamma-\beta+\delta+\epsilon-\delta=\alpha+\gamma+\epsilon,$$ y que los límites de la 1-las células se $$\begin{align} d_1\alpha&=0\\ d_1\beta&=y-x\\ d_1\gamma&=0\\ d_1\delta&=z-x\\ d_1\epsilon&=0 \end{align} $$ Ahora, se identifican $y$$z$, e $\gamma$$\epsilon$, para producir una estructura celular en $X$:

Para $X$, la cadena de grupos $$\begin{align} C_0(X)&=\langle x,y\rangle\\ C_1(X)&=\langle \alpha,\beta,\gamma,\delta\rangle\\ C_2(X)&=\langle D\rangle \end{align}$$ donde $D$ es nuestro 2-celda, y hemos $$\begin{align} d_1\alpha&=0\\ d_1\beta&=y-x\\ d_1\gamma&=0\\ d_1\delta&=y-x \end{align} $$

$$d_2D=\alpha+\beta+\gamma-\beta+\delta+\gamma-\delta=\alpha+2\gamma.$$

Por lo tanto, $$H_0(X)=\ker(d_0)/\mathrm{im}(d_1)=\langle x,y\rangle/\langle y-x\rangle=\left\langle\overline{x}\right\rangle\cong\mathbb{Z}$$ $$H_1(X)=\ker(d_1)/\mathrm{im}(d_2)=\langle \alpha,\gamma,\beta-\delta\rangle/\langle \alpha+2\gamma\rangle=\left\langle\overline{\gamma},\overline{\beta-\delta}\right\rangle\cong\mathbb{Z}^2$$ $$H_2(X)=\ker(d_2)/\mathrm{im}(d_3)=0/0\cong 0.$$

Answer 2

$X$ como se mencionó anteriormente es una botella de Klein pinchado, por lo tanto, la deformación se retrae en cuña de dos círculos. Así $H_1(X) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$.