¿Por qué la cotangente es más canónica que la tangente?

Question

No se necesita una métrica para definir el diferencial de una función, y el haz cotangente lleva una forma canónica.

Pero sí necesita una métrica para definir el gradiente, y el el fibrado tangente no tiene un campo vectorial canónico.

Estas no son verdades difíciles, pero aún así ... por qué la preferencia hacia "co"?

Answer 1

Si desea diferenciar funciones de una variedad para (digamos) la línea real R, entonces desea usar el fibrado cotangente en la variedad.

Si, en cambio, desea diferenciar las funciones de la variedad de la recta real (es decir, curvas parametrizadas), entonces desea usar el fibrado tangente en la variedad.

Por lo tanto, la preferencia proviene de si desea usar la variedad como dominio o como el rango de las funciones que uno está diferenciando.

Answer 2

Esto es una trivialidad, pero aún así: hay un retroceso de una forma diferencial, pero en general no hay empuje hacia adelante de un campo vectorial. Como consecuencia, se obtiene, por ejemplo, para cualquier mapa liso $f:X\to Y$ de variedades lisas un mapa de gavillas $f^{-1}\Omega^{\bullet}_Y\to\Omega^{\bullet}_X$; existen mapas similares en los casos analíticos y algebraicos complejos.