Vi un video que decía que la probabilidad de que los enteros gaussianos sean relativamente primos es una expresión en $\pi$, y también sé sobre $\zeta(2) = \pi^2/6$% pero me pregunto qué hay más conexiones entre $\pi$ y los números primos.
Respuestas
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tracker1972
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1
Leonard Euler descubrió hace muchos años que
$\frac π 4 = \frac 3 4 \cdot \frac 5 4 \cdot \frac 7 8 \cdot \frac {11} {12} \cdot \frac {13} {12} \cdots$
donde los numeradores del lado derecho son los números primos impares y cada denominador (en ambos lados) es el múltiplo de 4 más cercano al numerador correspondiente. Bastante fascinante si me preguntas.
Richard Stanley
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19788
La probabilidad de que dos enteros gaussianos sean relativamente primos es $6/(\pi^2 K) = 0.66370080461385348\cdots$, donde $K= 1 - \frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}-\frac{1}{7^2}+\cdots$ (constante catalana). No se conoce ninguna expresión simple para $K$ en términos de $\pi$. Ver http://www.springerlink.com/content/y826m64747254t87.
