Producto interno que elimina el elemento cero

Question

Digamos que tengo un espacio de Hilbert complejo, con el típico producto interno:

$$ \langle u,v \rangle=u^\dagger v $$

El producto interior del elemento cero también es cero: $\langle 0,0 \rangle=0$

Digamos que voy a llamar al estado cero un estado "indeseable" (produce estados no normalizables para una función de onda, por ejemplo). ¿Puedo eliminarlo del producto interior? ¿Puedo definir el producto interno de la siguiente manera?

$$ \langle u,v \rangle=\begin{cases} \nexists & \text{if } u=v=0 \\ u^\dagger v & \text{otherwise} \end{cases} $$

A la Mecánica Cuántica parece gustarle --- esto es básicamente el producto interno de los estados físicos permitidos. ¿Hay alguna razón por la que a los matemáticos no les guste? ¿Sigue siendo el espacio un espacio de Hilbert? Si no es así, ¿qué es?

Answer 1

Por supuesto que se puede definir así. En matemáticas, podemos definir cualquier cosa como queramos. La pregunta que deberías hacerte es: ¿esta definición facilita algo de lo que estoy haciendo?

No necesitamos un compromiso ontológico con las entidades de nuestros modelos, y realmente no hay razón para tratar de "reducir" un modelo a sólo las entidades que parecen "reales", a menos que pueda hacerlo de una manera que evite sistemáticamente la necesidad de manejar manualmente los casos de borde.

Por lo que veo, esto hace lo contrario de eso. No cambia nada sistemáticamente; todo lo que hace es introducir la necesidad de propagar un montón de condiciones extra a través de todas las pruebas. Cualquiera que utilice las matemáticas para describir una cosa será capaz de podar las entidades no físicas post-hoc - no hay necesidad de llevar tediosamente las advertencias a través de cada paso de las matemáticas cuando no cambian la estructura lógica de los argumentos.