Demuestre que este mapeo es una transformación lineal

Question

Demuestre que el mapa v \= [ v ] _{<em>E </em>} [ v ] _{<em>B </em>} para todos v R n define una transformación lineal T _{<em>B </em>} : R n R n .

B \= { b _{<em>1 </em>} , b _{<em>2 </em>} , b _{<em>3 </em>} ,..., b _{<em>n </em>} } es una base de R n . Cualquier vector v R n puede expresarse de forma única como una combinación lineal de B : v \= c ₁ b ₁ + c ₂ b ₂ + ... + c _n b _n . El n -tupla (c ₁ a c _n ) se llama la representación de v en B , denotado por [ v ] _{<strong><em>B </em></strong>} . v un vector en R n puede ser visto como v representado en la base estándar E \= { e ₁ , e ₂ ,..., e _n }.

Answer 1

Dejemos que $f(\mathbf v_E) = \mathbf v_B$ . ¿Puede mostrar que el mapa $f$ satisface el definición de mapa lineal es decir, que $f(\mathbf u + \mathbf v) = f(\mathbf u) + f(\mathbf v)$ y que $f(\alpha\,\mathbf u) = \alpha\, f(\mathbf u)$ ? (Sugerencia: Debería poder hacerlo con sólo mirar la definición de $\mathbf v_B$ .)

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Bien, déjame desempacar eso un poco:

Dada una base $B = \{\mathbf b_1, \mathbf b_2, \dotsc, \mathbf b_n\}$ , dejemos que $\mathbf u = c_1 \mathbf b_1 + \dotsb + c_n \mathbf b_n$ y $\mathbf v = d_1 \mathbf b_1 + \dotsb + d_n \mathbf b_n$ por lo que, por definición, $\mathbf u_B = (c_1, \dotsc, c_n)$ y $\mathbf v_B = (d_1, \dotsc, d_n)$ . De ello se deduce directamente que $\mathbf u + \mathbf v = (c_1 + d_1) \mathbf b_1 + \dotsb + (c_n + d_n) \mathbf b_n$ y, por tanto, que $(\mathbf u + \mathbf v)_B = \mathbf u_B + \mathbf v_B$ .

Con un argumento similar, se puede demostrar que $(\alpha\, \mathbf u)_B = \alpha\, (\mathbf u_B)$ para $\alpha \in \mathbb R$ . En conjunto, estos resultados demuestran que el mapa $\mathbf v \mapsto \mathbf v_B$ es lineal, como lo pide la pregunta.

(En la pregunta que ha citado, el vector $\mathbf v$ se identifica con su representación estándar $\mathbf v_E = (a_1, \dotsc, a_n)$ dado por $\mathbf v = a_1 \mathbf e_1 + \dotsb + a_n \mathbf e_n$ , donde $E = \{\mathbf e_1, \dotsc, \mathbf e_n\}$ es la base estándar de $\mathbb R^n$ . Si quiere distinguir entre $\mathbf v$ y $\mathbf v_E$ y específicamente mostrar que el mapa $\mathbf v_E \mapsto \mathbf v_B$ es lineal, basta con demostrar que $\mathbf v_E \mapsto \mathbf v$ también es (trivialmente) lineal, y luego aplicar el lema de que la composición de dos mapas lineales es lineal).

Answer 2

Crear una matriz $M$ cuyas columnas son las $b_{i}$ entonces $T(u)=Mu$ realiza la transformación. Ahora es fácil demostrar que $T$ tiene las propiedades de una transformación lineal.