Una pregunta sobre el ordenamiento estocástico y la convolución

Question

Dos funciones de densidad de probabilidad $f$ y $g$ se sabe que tienen funciones de distribución $F$ y $G$ respectivamente con $F(y)>G(y)$ para todos $y$ , digamos que en $\mathbb{R}$ .

Se sabe que si convulsionamos $f$ con ella misma y $g$ con sí mismo en el rango $[-\infty,\infty]$ entonces las funciones de distribución de $f*f$ , ( $F^*$ ) y $g*g$ , ( $G^*$ ) volverá a satisfacer $F^*(y)>G^*(y)$ para todos $y$ (las sumas de variables aleatorias independientes conservan el orden estocástico). Supongamos que el valor esperado calculado a partir de ambos $f$ y $g$ sea negativo. Consideremos las siguientes dos circunvoluciones $$h_0(x):=\int_{b}^{a}f(x-t)f(t)\mbox{d}t\quad\quad h_1(x):=\int_{b}^{a}g(x-t)g(t)\mbox{d}t$$ donde $b<0$ y $a>0$ .

Dado

$$H_0(y):=\int_{-\infty}^{y}h_0(x)\mbox{d}x\quad\quad H_1(y):=\int_{-\infty}^{y}h_1(x)\mbox{d}x$$

¿Es también cierto que $H_0(y)>H_1(y)$ para todos $y$ ?

Answer 1

No. Para un contraejemplo, considere $f$ con una media de $u\lt b$ y $g$ con una media de $v$ en $(b,a)$ entonces $H_0(y)=P[X+X'\leqslant y,b\leqslant X\leqslant a]$ y $H_1(y)=P[Y+Y'\leqslant y,b\leqslant Y\leqslant a]$ donde $X$ y $X'$ son i.i.d. con densidad $f$ y $Y$ y $Y'$ son i.i.d. con densidad $g$ . Cuando las varianzas de $f$ y $g$ ir a cero, $H_0(y)\leqslant P[b\leqslant X\leqslant a]\to0$ y $H_1(y)\sim P[Y+Y'\leqslant y]$ En particular $H_0(y)\lt H_1(y)$ para todas las variantes suficientemente pequeñas y cada $y\geqslant2v$ .