¿Se puede encontrar este grupo matriz?

Question

Estoy tratando de encontrar el grupo matriz $G_D \le GL(n,\mathbb{R})$ que consiste en todas las matrices $P$ que satisfacen: $$ P^T D P = D $$ donde $D$ es una diagonal positiva definida dada $n \times n$ matriz.

Para el caso especial $D = \lambda I$ el grupo es $G_D = O(n)$ . Pero me interesa el caso de una matriz diagonal general $D$ . Tenga en cuenta que la solución $P = \pm I$ es válido para cualquier $D$ pero espero que también haya soluciones no triviales.

Mi enfoque hasta ahora es escribir $D$ como $$ D = \textrm{diag}(d_1,\dots,d_n) = \sum_i d_iE_i $$ donde $E_i$ es una matriz con 1 en la posición $(i,i)$ y cero en el resto, es decir: $$ E_i = \left( \begin{array}{ccccc} 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right) $$ Entonces la ecuación definitoria pasa a ser: $$ \sum_i d_i P^T E_i P^T = D $$ Ahora escribo $P$ en forma de bloque como $$ P = \left( \begin{array}{c|c} P_{1i} & P_{2i} \\ \hline P_{3i} & P_{4i} \end{array} \right) $$ donde $P_{1i}$ es $i \times i$ , $P_{2i}$ es $i \times (n-i)$ , $P_{3i}$ es $(n-i) \times i$ y $P_{4i}$ es $(n-i) \times (n-i)$ .

Si se introduce esto en la suma anterior, se obtiene: $$ \sum_i d_i \left( \begin{array}{cc} P_{1i}^T \hat{E}_i P_{1i} & P_{1i}^T \hat{E}_i P_{2i} \\ P_{2i}^T \hat{E}_i P_{1i} & P_{2i}^T \hat{E}_i P_{2i} \end{array} \right) = D $$ Aquí he definido $\hat{E}_i$ tiene el $i \times i$ matriz con 1 en posición $(i,i)$ y 0 en el resto: $$ \hat{E}_i = \left( \begin{array}{ccc} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 \end{array} \right) $$ En este punto estoy atascado y no estoy seguro de cómo avanzar en la solución de $P$ en la ecuación anterior. Apreciaría si alguien tiene consejos o posiblemente otras ideas sobre cómo atacar este problema.

Answer 1

Desde $D$ es definida positiva, tiene una raíz cuadrada definida positiva. Obsérvese que

$$\begin{align} P^T D P = D \iff & (\sqrt{D}^{-1} P^T \sqrt{D})(\sqrt{D} P \sqrt{D}^{-1}) = I_n\\ \iff & (\sqrt{D}^T P \sqrt{D}^{-T})^T (\sqrt{D} P \sqrt{D}^{-1}) = I_n\\ \iff & (\sqrt{D} P \sqrt{D}^{-1})^T (\sqrt{D} P \sqrt{D}^{-1}) = I_n \end{align} $$ Si dejamos que $O = \sqrt{D}P\sqrt{D}^{-1}$ entonces $O^T O = I_n \implies O \in O(n,\mathbb{R})$ .

Esto significa que la colección de $P$ puede parametrizarse como $\sqrt{D}^{-1}O\sqrt{D}$ por $O \in O(n,\mathbb{R})$ . Tal colección forma un grupo que es isomorfo a $O(n,\mathbb{R})$ por un automorfismo interno inducido por $\sqrt{D}$ .