¿Por qué la colección de todas las extensiones algebraicas de F no es un conjunto?

Question

Cuando lo que prueba que cada campo tiene una expresión algebraica de cierre, usted tiene que tener cuidado. En este artículo https://proofwiki.org/wiki/Field_has_Algebraic_Closurey como me han dicho en este sitio, si tenemos un campo F. La "colección de todas las extensiones algebraicas de F" es no un conjunto.

Hay una manera simple de explicar por qué esto no es un juego, y no podemos aplicar zorns lema? O usted necesita un montón de lectura en profundidad de conjunto de la teoría y la lógica para entender esto? He visto la paradoja de russel, pero que es básicamente lo mucho que sé acerca de esto.

Lo que también es muy confuso es que en el análisis real, tenemos que "el espacio de funciones continuas en [0,1] es un espacio vectorial". Así que hay un conjunto de funciones continuas? Esto no suena nada más misterioso que "todas las extensiones algebraicas de un determinado campo F", sin embargo uno de ellos da lugar a un conjunto, y uno no?

Answer 1

Aquí está una reformulación del argumento que evita la noción de cardinalidad. Supongamos $F$ no es algebraicamente cerrado, deje $K$ ser algunos algebraica de extensión, y deje $a$ cualquier elemento de $K$ que no está en $F$. Entonces, para cualquier entidad $x\notin K$, se puede producir otro algebraicas extensión de $F$, isomorfo a $K$, mediante la sustitución del elemento $a$$K$$x$. Así que cada $x\notin K$ es una extensión algebraica de $F$, y así es todo $x\in K$ (debido a $K$ sí, es una extensión algebraica de $F$). Si hay un conjunto de todas las extensiones algebraicas de $F$, entonces la unión de este conjunto de campos sería un conjunto (por el axioma de la unión) y, sin embargo, podría contener cualquier cosa. Que contradice el teorema (de estándar de la teoría de conjuntos) que no hay ningún conjunto puede contener cualquier cosa.

Answer 2

Si una expresión algebraica cierre de $K$ $F$ tiene cardinalidad $\kappa$, entonces cada conjunto de cardinalidad $\kappa-|F|$ se pueden unir con $F$ dar algebraica de cierre, por la definición de la suma y la multiplicación por el transporte a través de la bijection con $K$. Por lo tanto, la clase de los conjuntos de cardinalidad $\kappa-|F|$ (que vamos a suponer que es distinto de cero, es decir, $F$ no está cerrado ya) inyecta en la clase algebraico de los cierres de $F$. Pero la clase de todos los conjuntos de un determinado distinto de cero cardinalidad no es un conjunto, y por lo que la clase algebraico de los cierres no es una serie cualquiera.

Funciones continuas $[0, 1]\to\mathbb R$ forma un conjunto debido a $[0, 1]\times\mathbb R$ es un conjunto, y el conjunto de funciones continuas $[0, 1]\to\mathbb R$ forma un subconjunto de el juego de poder de $[0, 1]\times\mathbb R$.

Answer 3

Supongamos que tienes un buen algebraicas extensión de $K$ $F$ (por lo $F$ no es algebraicamente cerrado).

Si $X$ es cualquier conjunto discontinuo de$F$$|X|=|K\setminus F|$, e $f_X\colon K\setminus F\to X$ es un bijection, entonces podemos construir un bijection $g_X\colon K\to F\cup X$, de modo que $$ g_X(a)=\begin{cases} a & \text{if %#%#%}\\ f_X(a) & \text{if %#%#%} \end{casos} $$ y el transporte de la estructura de campo de$a\in F$$a\in K\setminus F$, de modo que $K$ es un campo de isomorfismo. Por lo tanto $F\cup X$ es una extensión algebraica de $g_X$.

Puesto que la clase de los conjuntos de equipotente a $F\cup X$ y disjunta de a $F$ no es un conjunto, hemos terminado.

La situación es completamente diferente en el caso de las funciones continuas de$K\setminus F$$F$. Pero no hay un "set" de todas las funciones continuas a $[0,1]$ con un espacio métrico arbitrario como dominio.