¿Suma de raíces no reales de la cuártica?

Question

Considere $$f(x)=8x^4-16x^3+16x^2-8x+k=0$$ donde $k \in \mathbb{R}$ ,entonces encuentra la suma de las raíces no reales de f(x).

Mi enfoque:

tenemos $$f'(x)=32x^3-48x^2+32x-8=0$$ También

$$f''(x)=96x^2-96x+32=96(x-\frac{1}{2})^2+8 \gt 0$$ así que $f'(x)$ es estrictamente creciente y, por tanto, sólo tiene una raíz real $x_0$ en $(0 \:\:1)$ , Así que $f(x)$ tiene Mínimos Locales en $x=x_0$ y no hay Máxima Local. Así que $f(x)$ debe tener exactamente dos raíces reales y dos raíces complejas. También $f(0)=k=f(1)$ y como $f(x)$ tiene Mínimos Locales en $x_0$ donde $0<x_0<1$ , $k \gt 0$

Ahora dejemos que las raíces de $f(x)$ sea $a$ , $b$ , $p+iq$ y $p-iq$ donde $$a,b,p,q \in \mathbb{R}$$ Necesitamos encontrar el valor de $2p$ ...Ahora usando las relaciones entre los coeficientes y las raíces de $f(x)$ tenemos

$$a+b+2p=2 \tag{1}$$

$$ab+(p^2+q^2)=(2p-1)^2+1 \tag{2}$$

$$ab(2p)+(p^2+q^2)(2-2p)=1 \tag{3}$$

$$(ab)(p^2+q^2)=\frac{k}{8} \tag{4}$$

Desde $a$ y $b$ se encuentran en el intervalo $(0\:\: 1)$ tenemos

$0\le a+b \le 1$ $\implies$

$0 \le 2-2p \le 1$ $\implies$

$1 \le 2p \le 2$ pero no se puede encontrar el valor exacto de $2p$ ...cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Obsérvese que la función es simétrica con respecto a $\dfrac{1}{2}$ . Es decir $$8x^4-16x^3+16x^2-8x+k=\frac{1}{2}(2x-1)^4+(2x-1)^2-\frac{3}{2}+k$$

Esta función -como has notado- es cóncava hacia arriba en todas partes, lo que significa que cuando se cuenta con la multiplicidad, tenemos dos raíces reales cuando $k\le\dfrac{3}{2}$ y raíces reales cero cuando $k>\dfrac{3}{2}$ .

Ahora hacemos uso de las fórmulas de Vieta para obtener que la suma de todas las raíces es $-\dfrac{-16}{8}=2$ .

Cuando tenemos todas las raíces imaginarias, podemos aplicar directamente esto para obtener la suma final como $2$ . Cuando tenemos dos raíces reales, su media es $\dfrac{1}{2}$ por lo que su suma es $1$ y, por tanto, la suma de las raíces imaginarias es también $1$ .