Comprender la suma de Einstein en la ecuación geodésica

Question

Estoy tratando de enseñarme la relatividad general. Creo que no entiendo del todo la suma de Einstein. Tengo dos versiones de la misma pregunta

1. De forma no relativista: Si $V^= $ (la velocidad) por qué es $ü= 0$ equivalente a $V^_V^=0$ ?

2. El mismo problema en la relatividad. ¿Por qué $V^D_V^= 0$ ¿es equivalente a la ecuación geodésica expandida? ( $D_$ es la derivada covariante). No entiendo por qué la derivada parcial en la derivada covariante no se multiplica por un factor de $V^$ .

Answer 1

Digamos que quieres saber la velocidad con la que una función cambia en la dirección de $V$ . Esto es sólo $V^\mu \partial_\mu$ por la regla de la cadena*. La condición de que $f$ no cambia a medida que avanzamos $V^\nu$ es la condición de que $V^\nu \partial_\nu f=0$ . Así que si $V^\nu$ no cambia a medida que nos movemos en la dirección de $V^\nu$ Esta es la condición $V^\mu \partial_\mu V^\nu=0$ . Así que la respuesta a tu primera pregunta es que se sigue por la regla de la cadena**. Aplicando el principio de equivalencia se obtiene que, en el caso general, deberíamos tener $V^\mu \nabla_\mu V^\nu=0$ . (El principio de equivalencia dice, más o menos, "las derivadas parciales van a las derivadas covariantes")

Una advertencia es que tenemos que imaginar $V$ para que sea un pequeño campo vectorial, al menos localmente, de modo que podamos tomar sus derivadas parciales. Esto es más un abuso de la notación que un problema real.

*( Prueba : imagina un camino $\gamma^\mu(t)$ donde $V^\mu=\frac{d}{dt}\gamma^\mu(t)$ . Es decir, toma un escalar $\lambda$ y devuelve las coordenadas del punto. Entonces la tasa de cambio de una función $f$ a medida que avanzamos en el camino es $\frac{d}{dt}f(\gamma^\mu(t))$ . Aplique la regla de la cadena para obtener que esto es igual a $V^\mu \partial_\mu f$ . Es interesante señalar que no hemos tenido que invocar la métrica en esta discusión hasta este punto)

**(Una confusión notacional: se trata de $\dot{u}$ donde $u$ es la velocidad. No tenemos que considerar $\ddot{u}$ . Es la segunda derivada de la posición, pero la primera derivada de la velocidad).