$f^{-1}(O)$ también está abierto

Question

Consideremos que $f$ es una función continua y $O$ es un conjunto abierto.

¿Podemos asumir que $f^{-1}(O)$ ¿también está abierto?

Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Como se ha mencionado, si $f$ es una función entre espacios topológicos generales esta propiedad se suele tomar como el definición de $f$ siendo "continua", y por tanto no hay nada que demostrar.

Sin embargo, si $f$ va entre espacios métricos en particular, como $\mathbb R\to \mathbb R$ , "continua" puede ser definida por un $\varepsilon$ - $\delta$ definición como en el análisis real, en cuyo caso la apertura de $f^{-1}(O)$ es algo que necesita una prueba real.

En este caso queremos demostrar que cada $x\in f^{-1}(O)$ es un punto interior. Lo que sabemos es que $f(x)\in O$ y $O$ está abierto, por lo que hay algo de $\delta>0$ tal que $B_\delta(f(x))\subseteq O$ . El $\varepsilon$ - $\delta$ La definición de continuidad nos da entonces una $\varepsilon>0$ tal que $f(B_\varepsilon(x))\subseteq B_\delta(f(x)) \subseteq O$ .

Pero entonces $B_\varepsilon(x)\subseteq f^{-1}(O)$ lo que significa que $x$ es un punto interior de $f^{-1}(O)$ . Porque $x\in f^{-1}(O)$ era arbitraria, $f^{-1}(O)$ está, por tanto, abierto.

Answer 2

Por definición, si $\mathrm{f} : X \to Y$ es continua entonces, para cualquier conjunto abierto $U \subseteq Y$ la imagen previa

$$\mathrm{f}^{-1}(U) := \{x \in X : \mathrm{f}(x)\in U\}$$ es un subconjunto abierto de $X$ . La definición de continuo es que la preimagen de todos los conjuntos abiertos es abierta.