Espacios de dimensión infinita distintos de los espacios funcionales

Question

"El análisis funcional es el estudio de los espacios de dimensión infinita dotados de producto interior, norma, topología...etc. Los espacios más interesantes son los espacios de funciones/operadores y secuencias.

No sé si hay "otro tipo" de espacios de dimensión infinita que no sea el espacio de funciones/operadores/secuencias, lo cual es interesante.

Answer 1

De hecho todos los espacios normados son subespacios de algunos espacios de funciones . Esta podría ser la razón por la que el análisis funcional tiene su nombre.

Answer 2

Un ejemplo podría ser $M(K)$ el espacio de todas las medidas regulares de Borel sobre $K$ de variación finita, donde $K$ es un espacio compacto. Este espacio surge como el dual de $C(K)$ .

Answer 3

$\mathbb{R}$ es un espacio vectorial de dimensión infinita sobre $\mathbb{Q}$ pero no es un espacio de Hilbert. Se puede ver que todos los axiomas para un espacio vectorial se verifican si se define la suma de dos ''vectores'' como la suma habitual de números reales y el producto para un escalar $q \in \mathbb{Q}$ como el producto habitual.

Este espacio tiene una dimensión infinita Bases de Hamel .

Y, obviamente, cualquier $\mathbb{R}^n$ es de dimensión finita sobre $\mathbb{R}$ pero de dimensión infinita sobre $\mathbb{Q}$ .

Answer 4

Un espacio de Banach extremadamente interesante que, aunque es un espacio secuencial, no se discute con frecuencia es el espacio de Tsirelson. Se trata de un espacio de Banach reflexivo que no contiene ninguna copia isomorfa de $c_{0}$ o de $\ell_{p}$ para $p\in[1,\infty)$ . Más comúnmente, se trata del espacio dual $\mathcal{T}$ de la construcción original de Tsirelon que es, tal y como lo formulan Figiel y Johnson, la terminación del conjunto $c_{00}$ de secuencias escalares finitamente soportadas con respecto a la norma definida implícitamente: \begin{multline*} \|x\|_{\mathcal{T}}=\max\left\{\|x\|_{\infty},\frac{1}{2}\sup\left\{\sum_{i=1}^{N}\|E_{i}x\|_{\mathcal{T}}\;\middle\vert\; N\in\mathbb{N} \right.\right. \\ \left.\left. \phantom{\sum_{i=1}^{N}}\text{ and } \{N\}\leq E_{1}<E_{2}<\ldots <E_{N}\right\}\right\} \qquad x=(x_{j})_{j=1}^{\infty}\in c_{00} \end{multline*} donde $E_{i}\subset\mathbb{N}$ es finito, $E_{i}x=\sum_{j\in E_{i}}x_{j}e_{j}$ y la notación $E<F$ significa que $\max(E)<\min(F)$ para los subconjuntos $E,F\subset\mathbb{N}$ . El espacio de Banach $\mathcal{T}$ es la base (no es un juego de palabras) de numerosos contraejemplos en la teoría de los espacios de Banach y da lugar a una serie de variantes que tienen propiedades curiosas (como ser arbitrariamente distorsionable).

Answer 5

Los algebristas estudian muchas álgebras de dimensión infinita sobre su campo base, como Álgebras envolventes universales , Álgebras de Kac-Moody , Álgebras de Weyl , ...