Demostrar que $\int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {xt} \right)}} {t} \mathrm dt} $ es continua

Question

¿Cómo puedo demostrar que esta función es continua? $$ f\left( x \right) = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {xt} \right)}} {t} \mathrm dt} $$ ¿Alguna pista? No considere el cero en el punto final de la zona de integración, sólo tómelo como un límite $$ f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{\varepsilon ^ + \to 0} \int\limits_\varepsilon ^\pi {\frac{{\sin \left( {xt} \right)}} {t} \mathrm dt} $$ ¿Cómo puedo hacerlo? ¡DX!

Answer 1

En primer lugar, observe que $$ \lim_{t\to0}\frac{\sin(x\,t)}{t}=x\ , $$ para que la integral exista como de buena fe integral de Riemann. A continuación, dado $x,y\in\mathbb{R}$ , $$ |f(x)-f(y)|\le\int_0^{\pi}\frac{|\sin(x\,t)-\sin(y\,t)|}{t}\,dt. $$ Ahora utilice la desigualdad $|\sin a-\sin b|\le\dots$ para concluir que $f$ es continua.

Answer 2

$$I(x)=\int_0^\pi\frac{\sin(xt)}{t}dt$$ $$I'(x)=\int_0^\pi\cos(xt)dt$$ ahora $u=xt,du=xdt\Rightarrow dt=\frac{du}{x}$ y así: $$I'(x)=\int_0^{\pi x}\frac{\cos(u)}{x}du=\left[\frac{\sin(u)}{x}\right]_{u=0}^{\pi x}$$ $$I'(x)=\frac{\sin(\pi x)}{x}$$ y está claro que $I'(x)$ es continua para $x>0$ y luego tratar de tomar el límite: $$\lim_{x\to0^+}\frac{\sin(\pi x)}{x}=\pi$$ por lo que la derivada existe para todo $x\in\mathbb{R}$ . Otra cosa que hay que mirar es el valor de $I(0)$ . podemos hacerlo: $$I(0)=\lim_{x\to 0}\int_0^\pi\frac{\sin(xt)}{t}dt=\int_0^\pi\lim_{x\to0}\frac{\sin(xt)}{t}dt=\int_0^\pi\lim_{x\to0}\frac{xt}{t}dt=0$$ y así $I(x)\in C(\mathbb{R})$

Answer 3

$f\left( x \right) = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {xt} \right)}} {t} \mathrm dt} = \int\limits_0^\pi {\frac{{\sin \left( {xt} \right)}} {xt} x\mathrm dt} = \int\limits_0^{x\pi} {\frac{{\sin \left( {t} \right)}} {t} \mathrm dt} $

y la integral de una función continua es continua.