Gavilla reflexiva sobre superficies normales

Question

Dejemos que $X$ sea un esquema proyectivo normal de dimensión pura $2$ y $\mathcal{F}$ es una gavilla coherente reflexiva sobre $X$ . Es $\mathcal{F}$ ¿libre a nivel local?

Answer 1

No. De hecho, el rango 1 reflexivo $\mathcal{O}_X$ -corresponden a clases de equivalencia lineal de Weil mientras que los localmente libres corresponden a los divisores de Cartier -- véase, por ejemplo, el Apéndice de §1 en la obra de Reid Pliegues canónicos de 3 hojas . Si por ejemplo $X$ es un cono cuadrático, la gavilla reflexiva de rango 1 asociada a una generatriz no es localmente libre.