Prueba $ R \cap (B \times B) $ es un orden parcial en B

Question

Dado $R$ es un orden parcial en $A$ y $B$ es un subconjunto de $A$

Dejemos que $x,y,z \in B$

Así que $x,y,z \in A$

1. Así que $(x,x) \in R $ También $(x,x) \in B \times B$ . De ahí la reflexividad.

2. Desde $x,y,z \in B$ y así en $A$ . Así que dejemos $xRy$ y $yRz$ así que $xRz$ por la transitoriedad de $R$ . También desde $x,z \in B$ así que $(x,z) \in B \times B$ . Así que $xRz \in R \cap (B \times B)$

3. Ahora dejemos que $xRy$ y $yRx$ . Esto implica $x=y$ porque $R$ es un orden parcial en $A$ y $x,y \in A$ . También $(x,y)$ y $(y,x) \in B \times B$ . ¿Cómo debo proceder? ¿Es esto correcto?

Gracias

Answer 1

La prueba me parece completa: En 3. sabes que si $\left(x,\, y\right),\,\left(y,\, x\right)\,\in\, R\cap\left(B\times B\right)$ deben estar en $R$ y así la antisimetría se traduce directamente de $A$ .

Prueba detallada, como la escribiría yo:

Dejemos que $A$ sea un conjunto con orden parcial $R$ . Dejemos que $B\subseteq A$ .

Lema: Entonces $R\cap\left(B\times B\right)$ es un orden parcial en $B$ .

Prueba:

1.) Si $b\in B$ entonces $b\in A$ y por lo tanto $\left(b,b\right)\in R$ . Así, $\left(b,b\right)\in R\cap\left(B\times B\right)$ . Reflexividad $\checkmark$

2.) Si $\left(a,b\right)\in R\cap\left(B\times B\right)$ y $\left(b,c\right)\in R\cap\left(B\times B\right)$ entonces $\left(a,b\right)\in R$ y $\left(b,c\right)\in R$ .

Así, $\left(a,c\right)\in R$ como $R$ es un orden parcial.

También de $\left(a,b\right)\in R\cap\left(B\times B\right)$ y $\left(b,c\right)\in R\cap\left(B\times B\right)$ se deduce que $\left\{ a,\, b,\, c\right\} \subset B$ .

Así, $\left(a,c\right)\in R\cap\left(B\times B\right)$ . Transitividad $\checkmark$

3.) Si $\left(a,b\right)\in R\cap\left(B\times B\right)$ y $\left(b,a\right)\in R\cap\left(B\times B\right)$ entonces ambos $\left(a,b\right)\in R$ y $\left(b,a\right)\in R$ .

Así, $b=a$ como $R$ es un orden parcial. Antisimetría $\checkmark$

qed