Esto se basa en el Ej. 6.4.6 de "Números reales" de Stillwell.
Utilizando ejercicios anteriores, se estableció que se puede construir para cualquier ordinal contable $\gamma$ intervalos semiabiertos disjuntos $[a_{\alpha}, a_{\alpha+1})$ para todos $\alpha\lt\gamma$ con las propiedades $a_{\alpha}\lt a_{\beta}$ si $\alpha \lt \beta$ y $\bigcup_{\alpha \lt \gamma} [a_{\alpha},a_{\alpha+1})=[0,1)$ .
Lo que se denominó un " $\gamma$ -línea," $[0,1)\times \gamma$ se definió como que contiene una copia $[0,1)\times\{{\alpha}\}$ de $[0,1)$ para cada $\alpha\lt \gamma$ .
Como pregunta preliminar: ¿Es la notación $\times \{\alpha\}$ ¿Sólo un índice?
Puedo ver cómo esto $\gamma$ -es homeomorfo y de orden isomorfo a $[0,1)$ para cada ordinal contable $\gamma$ .
Mi pregunta principal es que agradecería ayuda para:
Del mismo modo, defina el $\omega_1$ -y explique por qué no es homeomorfo y no es isomorfo de orden a $[0,1)$ .
No estoy seguro de qué utilizar en lugar de $\times\{\alpha\}$ como índice sea menor que $\omega_1$ como $\alpha$ fue menor que $\gamma$ - ¿utilizo ordinales contables?
Y la explicación que se pide probablemente se basa en la incontabilidad de $\omega_1$ Pero no sé cómo mostrarlo explícitamente.
Como pregunta subsidiaria, Brian Scott dio un ejemplo de homeomorfismo pero no de isomorfismo de orden aquí: La relación entre el isomorfismo de orden y el homeomorfismo .
¿Puede haber isomorfismo de orden sin homeomorfismo?
Gracias
