Ejemplo de un operador que no es subnormal

Question

En algunas preguntas recientes ha aparecido el término operador subnormal.

Un operador acotado $A$ actuando en un espacio de Hilbert $H$ se llama subnormal si existe un espacio de Hilbert $K$ que contiene $H$ como subespacio y un operador normal $N$ en $K$ (lo que significa que está acotado y $N^*N^\mathstrut=N^\mathstrut N^*$ ) para que:

$$N= \begin{pmatrix}A & B \\0 & C \end{pmatrix}$$

Para los operadores acotados $B: H^\perp \to H$ , $C: H^\perp \to H^\perp$ .

Mi pregunta es, ¿cuál es un ejemplo de un operador que es no ¿subnormal?

Answer 1

Un enfoque es utilizar que todo operador subnormal es hiponormal. Entonces, si exhibimos un no hiponormal, terminamos.

Toma $H=\ell^2$ y $S$ el turno de la derecha. $T=(S^\ast+2S)^2$ no es hiponormal (la prueba es sencilla). Por lo tanto, $T$ no es subnormal.

Answer 2

Hecho 1. Todo operador subnormal es Hiponormal.

Hecho 2. En dimensión finita todo operador Hiponormal es un operador normal.(Ya que $tr(A^*A-AA^*)=0$ y el único operador definido positivo que tiene traza cero es el operador cero).

Así que si consideras cualquier operador no normal en un espacio de Hilbert de dimensión finita, por ejemplo cualquier matriz nilpotente, te da un ejemplo de operador no subnormal.

Hecho 3. Un desplazamiento ponderado es hiponormal si los pesos son no decrecientes. Así que tome cualquier desplazamiento ponderado cuyos pesos no son no decrecientes, entonces no será operador hiponormal y por lo tanto no puede ser subnormal.