Típicamente, $\langle \cdot, \cdot \rangle_\varphi$ no necesita ser inducido por una medida. Por ejemplo, un producto interno inducido por una medida tiene la propiedad de que las funciones de soporte disjunto son ortogonales, y esta propiedad no necesita ser preservada para productos internos equivalentes.
Para un contraejemplo explícito, dejemos que $X = \{a,b\}$ sea un espacio con dos puntos y sea $\mu$ sea una medida de recuento, de modo que $L^2(X,\mu)$ es isomorfo de forma obvia a $\mathbb{R}^2$ con su producto punto habitual, y la base ortonormal habitual $\{(1,0), (0,1)\}$ para $\mathbb{R}^2$ corresponde a la base $\{1_{\{a\}}, 1_{\{b\}}\}$ para $L^2(\mu)$ . Consideremos la matriz invertible $T = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{smallmatrix}\right)$ y el nuevo producto interno $\langle v,w \rangle_{\varphi} := \langle Tv, Tw \rangle$ . Se puede comprobar fácilmente que esto es equivalente al producto interno original; de hecho, todos los productos internos sobre $\mathbb{R}^2$ son equivalentes porque es de dimensión finita.
Entonces $\langle 1_{\{a\}}, 1_{\{b\}} \rangle_\varphi = \langle 1_{\{a\}}, 1_{\{a\}} + 1_{\{b\}} \rangle = 1$ . Pero para cualquier medida $\nu$ tenemos $\int_X 1_{\{a\}} 1_{\{b\}} \,d\nu = \int_X 0 \,d\nu = 0$ .
Se puede crear un ejemplo similar en cualquier espacio de medida $(X,\mu)$ que no es demasiado trivial, dejando que $f,g$ sean dos funciones cualesquiera de soporte disjunto, ninguna de las cuales es $\mu$ -a.e. cero. Sea $Tv = v + \langle v,g \rangle f$ y establecer $\langle v,w \rangle_{\varphi} := \langle Tv, Tw \rangle$ . Este será de nuevo un producto interno equivalente al original (porque $T$ es invertible) y tiene $\langle f, g \rangle_{\varphi} \ne 0$ .
